群馬大学(医学) 2023年　問題4


$e\ を自然対数の底とし、\pi \ を円周率とする。以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ e \leqq x < y\ \ のとき、不等式 \ \ y\log x > x\log y \ \ が成り立つことを証明せよ。$
$(2)\ \ 3\ つの数 \ \ 3^{2\sqrt{2}\pi} ,\ \ \pi^{6\sqrt{2}},\ \ 2^{\scriptsize{\cfrac{9}{2}} \normalsize{\pi}} \ \ の大小関係を明らかにせよ。$


(1)


$f(y)=y\log x -x \log y \quad とおく$

(i)$\ \ f(y)\ の極値の符号について$

$\quad f'(y)=\log x -\cfrac{x}{y}$

$\quad f'(y)=0 \ \ より \ \ \cfrac{x}{y}=\log x \qquad \therefore \ \ y=\cfrac{x}{\log x}$

$\quad 増減表は$
\[ \quad \begin{array}{c||c|c|c|c|c} y & 0 & \cdots & \cfrac{x}{\log x} & \cdots \\ \hline f'(y)& & - & 0 & + & \\ \hline f(y)& & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \end{array} \]
$\quad y= \cfrac{x}{\log x} \ で \ f(y)\ は極小となり、極小値は$

\begin{eqnarray*} \quad f(\cfrac{x}{\log x}) &=& \cfrac{x}{\log x} \times \log x -x \log \big(\cfrac{x}{\log x}\big)\\ \\ &=& x -x \log \big(\cfrac{x}{\log x}\big)\\ \\ &=& x\big(1 - \log \big(\cfrac{x}{\log x}\big)\big)\\ \\ \end{eqnarray*} $\quad ここで、g(x)=\log \big(\cfrac{x}{\log x}\big) \quad とおくと$

$\quad g(x)=\log x - \log (\log x)$

$\quad g'(x)=\cfrac{1}{x}-\cfrac{1}{x\log x}=\cfrac{\log x -1}{x\log x}$

$\quad x \geqq e \ \ だから \quad g'(x) \geqq 0 \quad よって \ g(x)\ は単調増加$

$\quad g(e)=\log e -\log(\log e)=1-\log 1=1 \quad だから \quad g(x) \geqq g(e)=1$

$\quad したがって \quad f(\cfrac{x}{\log x})= x\big(1 - g(x)) \leqq 0$

$\quad よって \ \ 極小値は負$


(ii)$\ \ x \ と極値をとる値の大小$

$\quad e \leqq x \ \ より \quad \log x \geqq 1 $

$\quad x-\cfrac{x}{\log x}=\cfrac{x(\log x -1)}{\log x} \geqq 0 \quad だから \quad \cfrac{x}{\log x} \leqq x$


(iii)$\ \ f(e)\ の符号$

$\quad f(e)=e\log x -x\log e=e\log x-x$

$\quad h(x)=e\log x -x \quad とおくと$

$\quad h'(x)=\cfrac{e}{x}-1=\cfrac{e-x}{x} \leqq 0 \quad よって \ h(x)\ は単調減少$

$\quad h(e)=e\log e -e=0 \quad だから \quad h(x) < h(e)=0$

$\quad よって \quad f(e) < 0$

　

(iv)$\ \ y\ 軸との交点$

$\quad f(x)=x\log x -x\log x=0 \quad だから \quad y=x \ は1つの交点である。$

$\quad また、f(y)\ は \ \ x < e \ \ で単調減少であり、$(iii)$\ \ より \ \ f(e) < 0$

$\quad y \longrightarrow +0 \ \ のとき \ \ f(y) \longrightarrow +\infty \ \ だから中間値の定理により$

$区間 \ (0,\ e)\ で \ y\ 軸と \ 1\ 点で交わる。$

$\quad e < x \quad だから \quad y=x\ \ は \ 2 つの交点のうち大きい方の交点である。$


$以上より$

$\quad e \leqq x < y \ \ のとき \ \ 　f(y) > 0 となり、 y\log x > x\log y$


(2)


(i)$\ \ 3^{2\sqrt{2}\pi}\ \ と \ \ 2^{\scriptsize{\cfrac{9}{2}} \normalsize{\pi}} \ \ の大小$

$\quad e < 2\sqrt{2} < 3 \quad だから$

$\quad 3\log 2\sqrt{2} > 2\sqrt{2}\log 3$

$\quad 3\log 2^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}} > 2\sqrt{2}\log 3$

$\quad \cfrac{9}{2}\log 2 > 2\sqrt{2}\log 3 \qquad 両辺に \ \pi \ をかけて$

$\quad \cfrac{9}{2} \pi \log 2 > 2\sqrt{2} \pi \log 3$

$\quad \log 2^{\scriptsize{\cfrac{9}{2}}\normalsize{\pi}} > \log 3^{2\sqrt{2}\pi} $

$\quad \therefore \ \ 2^{\scriptsize{\cfrac{9}{2}}\normalsize{\pi}} > 3^{2\sqrt{2}\pi}$


(ii)$\ \ 3^{2\sqrt{2}\pi}\ \ と \ \ \pi^{6\sqrt{2}}\ \ の大小$

$\quad e < 3 < \pi \quad だから$

$\quad \pi \log 3 > 3\log \pi \qquad 両辺に \ 2\sqrt{2}\ をかけて$

$\quad 2\sqrt{2} \pi \log 3 > 6\sqrt{2}\log \pi$

$\quad \log 3^{2\sqrt{2}\pi} > \log \pi^{6\sqrt{2}}$

$\quad \therefore\ \ 3^{2\sqrt{2}\pi} > \pi^{6\sqrt{2}}$


(i),(ii)$\ \ より \quad 2^{\scriptsize{\cfrac{9}{2}}\normalsize{\pi}} > 3^{2\sqrt{2}\pi} >\pi^{6\sqrt{2}}$


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