群馬大学(医学) 2023年　問題3


$底面が平行四辺形 \ OABC\ である四角錐 \ D-OABC\ を考え、点 \ X\ を線分 \ BD\ を \ 2:1\ に内分する点、$
$点 \ P\ を線分 \ AD\ 上の点、点 \ Q\ を線分 \ CD\ 上の点とする。\vec{OA}=\vec{a},\ \ \vec{OC}=\vec{c},\ \ \vec{OD}=\vec{d}\ \ として、$
$以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ \triangle ACD \ を含む平面と直線 \ OX\ との交点を \ Y\ とする。\vec{OY}\ を \ \vec{a},\ \vec{c},\ \vec{d}\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ s=\cfrac{AP}{AD}\ とする。4\ 点 \ O,\ X,\ P,\ Q\ が同一平面上にあるとき、s\ のとりうる値の範囲を求めよ。$
$\quad ただし点 \ A\ と点 \ P\ が一致するときは、AP=0\ とする。$
$(3)\ \ 底面 \ OABC\ が正方形であり、四角錐 \ D=OABC\ のすべての辺の長さが \ 1\ である場合に、$
$\quad (2)の条件のもとで \ \triangle DPQ \ の面積の最小値を求めよ。$


(1)

　

$点 \ Y\ は \ \triangle ACD \ 上にあるから$

$\vec{AY}=p\vec{AC}+q\vec{AD}\ \ を満たす実数 \ p,\ q\ が存在する。$

$\vec{OY}-\vec{OA}=p(\vec{OC}-\vec{OA})+q(\vec{OD}-\vec{OA})$

$\vec{OY}=(1-p-q)\vec{OA}+p\vec{OC}+q\vec{OD}$

$\therefore \ \ \vec{OY}=(1-p-q)\vec{a}+p\vec{c}+q\vec{d} \hspace{5em}①$

$四角形\ OABC\ は平行四辺形だから$

$\vec{OB}=\vec{OA}+\vec{OC}=\vec{a}+\vec{c}$

$点 \ X\ は線分 \ BD\ を \ 2:1\ に内分する点だから$

\begin{eqnarray*} \vec{OX} &=&\cfrac{\vec{OB}+2\vec{OD}}{1+2}\\ \\ &=&\cfrac{1}{3}(\vec{a}+\vec{c}+2\vec{d})\\ \end{eqnarray*} $また、点 \ Y\ は線分 \ OX\ 上にもあるから \quad \vec{OY}=k\vec{OX}\ \ を満たす実数 \ k\ が存在する。$

$\vec{OY}=\cfrac{k}{3}(\vec{a}+\vec{c}+2\vec{d})　\hspace{5em}②$

$①、②より$

$(1-p-q)\vec{a}+p\vec{c}+q\vec{d}=\cfrac{k}{3}(\vec{a}+\vec{c}+2\vec{d})$

$\vec{a},\ \vec{c},\ \vec{d}\ \ は同一平面上にない(一次独立)から$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} 1-p-q=\cfrac{k}{3}\\ p=\cfrac{k}{3}\\ q=\cfrac{2}{3}k\\ \end{array} \right. \]
$辺々加えて \quad 1=\cfrac{4}{3}k$

$\therefore \ \ k=\cfrac{3}{4}$

$よって \quad \vec{OY}=\cfrac{1}{4}(\vec{a}+\vec{c}+2\vec{d})$


(2)

　

$4\ 点 \ O,\ X,\ P,\ Q\ が同一平面上にあることから \ \ s \ne 1 \ \ と考えてよい。$

$点 \ P\ は線分 \ AD\ 上の点、点 \ Q\ は線分 \ CD\ 上の点だから$

$s=\cfrac{AP}{AD}\ \ において \ \ AD=1\ \ とすると$

$AP=s,\ \ DP=1-s \ \ (0 \leqq s < 1)\ \ だから$

$\vec{OP}=(1-s)\vec{OA}+s\vec{OD}=(1-s)\vec{a}+s\vec{d}$

$CQ:QD=t:(1-t) \ \ (0 \leqq t < 1) \ \ とおくと$

$\vec{OQ}=(1-t)\vec{OC}+t\vec{OD}=(1-t)\vec{c}+t\vec{d}$

$4\ 点 \ O,\ X,\ P,\ Q\ は同一平面上にあるから \quad \vec{OX}=u\vec{OP}+v\vec{OQ}\ \ を満たす実数 \ u,\ v \ が存在する。$

\begin{eqnarray*} \vec{OX} &=&u\vec{OP}+v\vec{OQ}\\ \\ &=&u((1-s)\vec{a}+s\vec{d})+v((1-t)\vec{c}+t\vec{d})\\ \\ &=&u((1-s)\vec{a}+v((1-t)\vec{c}+(us+vt)\vec{d}\\ \end{eqnarray*}
$(1)より \quad \vec{OX}=\cfrac{1}{3}(\vec{a}+\vec{c}+2\vec{d}) \quad だから$

$u((1-s)\vec{a}+v((1-t)\vec{c}+(us+vt)\vec{d}=\cfrac{1}{3}(\vec{a}+\vec{c}+2\vec{d}) $

\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} u((1-s)=\cfrac{1}{3} \hspace{5em}①\\ v((1-t)=\cfrac{1}{3} \hspace{5em}②\\ us+vt =\cfrac{2}{3} \hspace{5.5em}③\\ \end{array} \right. \] $①、②より \quad u=\cfrac{1}{3(1-s)},\quad v=\cfrac{1}{3(1-t)}$

$これらを③に代入して$

$\cfrac{s}{3(1-s)}+ \cfrac{t}{3(1-t)}=\cfrac{2}{3}$

$\cfrac{s}{1-s}+ \cfrac{t}{1-t}=2$

　

$両辺に \ 2\ を加えて$

$\big(\cfrac{s}{1-s}+1\big)+ \big(\cfrac{t}{1-t}+1\big)=4$

$\cfrac{1}{1-s}+ \cfrac{1}{1-t}=4$

$\cfrac{1}{1-s}=4- \cfrac{1}{1-t}=\cfrac{3-4t}{1-t}$

$1-s=\cfrac{1-t}{3-4t}$

$s=1-\cfrac{1-t}{3-4t}=\cfrac{2-3t}{3-4t}=\cfrac{3t-2}{4t-3}$

$\therefore \ s=\cfrac{3}{4}+\cfrac{1}{16(t-\dfrac{3}{4})}$

$このグラフは右図のとおりで、0 \leqq t < 1 ,\ \ 0 \leqq s < 1 \ \ の範囲で調べると$

$s\ のとりうる値の範囲は \quad 0 \leqq s \leqq \cfrac{2}{3}$


(3)

　

$四角錐 \ D=OABC\ のすべての辺の長さが \ 1\ で、$

$底面 \ OABC\ は正方形だから \quad AC=\sqrt{2}AB=\sqrt{2}$

$\triangle ACD \ \ において \quad AD=CD=1 \quad だから$

$AC^2=AD^2+CD^2 \quad が成りたち、\angle ADC=90°$

$したがって \quad \triangle DPQ =\cfrac{1}{2}DP \cdot DQ =\cfrac{1}{2}(1-s)(1-t)$

$(2)より　\cfrac{1}{1-s}+ \cfrac{1}{1-t}=4　\quad だから \quad \cfrac{1}{1-t}=4- \cfrac{1}{1-s} = \cfrac{3-4s}{1-s}$

$\therefore \ \ 1-t=\cfrac{1-s}{3-4s}=\cfrac{s-1}{4s-3}$

$S= \triangle DPQ \quad とおくと $

\begin{eqnarray*} S &=&-\cfrac{1}{2}(s-1)(1-t)\\ \\ &=&-\cfrac{1}{2}(s-1) \times \cfrac{s-1}{4s-3}\\ \\ &=&-\cfrac{1}{2}\cfrac{(s-1)^2}{4s-3}\\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} S' &=&-\cfrac{1}{2}\cfrac{2(s-1)(4s-3)-(s-1)^2 \times 4}{(4s-3)^2}\\ \\ &=&-\cfrac{(4s^2-7s+3)-(2s^2-4s+2)}{(4s-3)^2}\\ \\ &=&-\cfrac{2s^2-3s+1}{(4s-3)^2}\\ \\ &=&-\cfrac{(2s-1)(s-1)}{(4s-3)^2}\\ \end{eqnarray*} $(2)より \ \ 0 \leqq s \leqq \cfrac{2}{3} \ \ だから \quad S'=0 \ \ より \ \ s=\cfrac{1}{2}$

$\quad 増減表は$
\[ \quad \begin{array}{c||c|c|c|c|c} s & 0 & \cdots & \small{\cfrac{1}{2}} & \cdots & \small{\cfrac{2}{3}}\\ \hline S' & & - & 0 & + & & \\ \hline S & & \searrow & 極小 & \nearrow & \\ \end{array} \]

　

$\quad s= \cfrac{1}{2} \ で \ S\ は極小かつ最小となり、最小値は$

$S=-\cfrac{1}{2}\cfrac{(\dfrac{1}{2}-1)^2}{4 \times \dfrac{1}{2}-3}=\cfrac{1}{8}$

$なお、S\ のグラフは右図のとおり$


ページの先頭へ↑




メインメニュー　に戻る