群馬大学(医学) 2023年 問題2
$以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ 次の方程式の整数解をすべて求めよ。$
$\hspace{5em} 20x + 23y=1$
$(2)\ \ 462^m - 24 \ が \ 23^2\ \ の倍数になる正の整数 \ m\ をすべて求めよ。$
(1)
$(解法 \ １) \quad 特殊解を \ 1\ 組見つけて一般解を求める方法$
$20x + 23y=1 \hspace {5em}①$
$(特殊解の見つけ方 \ 1)\quad 順次代入法$
$y=1\ から順に代入して \ \ 23y-1\ \ が \ 20\ の倍数になるかどうか調べると$
$y=7\ \ のとき \quad 23 \times 7-1=160 \quad となって \quad x=-8 \ \ が得られる。$
$(特殊解の見つけ方 \ 2)\quad ユークリッドの互除法$
$23=20 \times 1 +3 \quad より \quad 3=23-20 \times 1$
$20=3 \times 6 +2 \quad より \quad 2=20-3 \times 6$
$3=2 \times 1 +1 \quad より$
\begin{eqnarray*} 1 &=&3-2 \times 1\\ \\ &=&3-(20-3 \times 6) \times 1\\ \\ &=&3 \times 7 -20 \times 1\\ \\ &=&(23-20 \times 1) \times 7 -20 \times 1\\ \\ &=&20 \times (-8) + 23 \times 7\\ \end{eqnarray*}
$よって \quad x=-8,\quad y=7$
$次に、見つけた \ 1\ 組の特殊解を利用して一般解を求める方法$
$20 \times (-8) + 23 \times 7=1 \hspace{5em}②$
$①-②より$
$20(x+8)+23(y-7)=0$
$20\ と \ 23\ は互いに素だから$
$x+8=23k,\quad y-7=-20k \ \ とおけるから$
$x=-8+23k,\quad y=7-20k \ \ (k\ は整数$
$(解法 2) \quad 式変形による方法$
$20x + 23y=1 \quad より$
$x=\cfrac{-23y+1}{20}=-y+\cfrac{-3y+1}{20}$
$-3y+1=20l \ \ (l\ は整数)\ \ とおけるから$
$y=\cfrac{-20l+1}{3}=-7l+\cfrac{l+1}{3}$
$l+1=3k\ \ (k\ は整数)\ \ とおけるから$
$y=-7(3k-1)+k=7-20k$
$x=-y+l=-(-20k+7)+(3k-1)=-8+23k$
(2)
\begin{eqnarray*} 461^m &=&(20 \cdot 23 +1)^m \hspace{5em} (二項定理で展開)\\ \\ &=&(20 \cdot 23)^m + {}_mC_1(20 \cdot 23)^{m-1}+ {}_mC_2(20 \cdot 23)^{m-2}+ \cdots + {}_mC_{m-2}(20 \cdot 23)^2+ {}_mC_{m-1}(20 \cdot 23) +1\\ \\ &=&23^2(20^m \cdot 23^{m-2} + {}_mC_1 20^{m-1} \cdot 23^{m-3}+ {}_mC_2 20^{m-2} \cdot 23^{m-4}+ \cdots + {}_mC_{m-2}20^2 ) + {}_mC_{m-1}(20 \cdot 23) +1\\ \end{eqnarray*} $p=20^m \cdot 23^{m-2} + {}_mC_1 20^{m-1} \cdot 23^{m-3}+ {}_mC_2 20^{m-2} \cdot 23^{m-4}+ \cdots + {}_mC_{m-2}20^2 \quad とおくと \ \ p\ は整数$
$461^m -24=23^2 p + {}_mC_{m-1}(20 \cdot 23) -23=23^2p+20 \cdot 23 m -23 $
$これが \ 23^2\ \ の倍数になるから$
$23^2p+20 \cdot 23 m -23=23^2q \ \ (q\ は整数)\ \ とおける。$
$23 p+ 20m -1=23q $
$20m+23(p-q)=1$
$これを満たす正の整数 \ m\ は(1)より \quad m=-8+23k \ \ (k\ は正の整数)$
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