福島県立医科大学 2023年 問題2
$a,\ b\ は実数の定数とする。x\ の多項式 \ \ f(x)=ax^4-(a+1)bx^3+(a^2+b^2+1)x^2-(a+1)bx+a \ \ について$
$以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ a=\alpha \beta , \ \ b=\alpha + \beta \ \ を満たす複素数 \ \alpha ,\ \beta \ \ を \ a,\ b\ で表せ。$
$(2)\ \ (1)の \ \alpha,\ \beta \ について、f(\alpha) \ と \ f(\beta) \ の値を求めよ。$
$(3)\ \ 0\ でない複素数 \ z\ が \ f(z)=0\ を満たすとき、f(\cfrac{1}{z})\ \ の値を求めよ。$
$(4)\ \ 方程式 \ f(x)=0 \ が異なる \ 4\ つの実数解をもつための \ a,\ b\ の条件を求めよ。$
(1)
$\alpha ,\ \ \beta \ \ は \ \ x^2-bx+a=0\ \ の解であるから、これを解いて$
$x=\cfrac{b \pm \sqrt{b^2-4a}}{2}$
$よって \quad \alpha=\cfrac{b \pm \sqrt{b^2-4a}}{2},\quad \beta =\cfrac{b \mp \sqrt{b^2-4a}}{2}\quad (複号同順)$
(2)
$右の計算からわかるように$
$割り切れて商は \quad ax^2-bx+1$
$f(x)=(x^2-bx+a)(ax^2-bx+1)$
$\alpha ,\ \ \beta \ \ は \quad x^2-bx+a=0\ \ の解だから$
$f(\alpha)=f(\beta)=0$
(3)
\begin{eqnarray*} f(\cfrac{1}{z}) &=&a\big(\cfrac{1}{z}\big)^4-(a+1)b\big(\cfrac{1}{z}\big)^3+(a^2+b^2+1)\big(\cfrac{1}{z}\big)^2-(a+1)b\big(\cfrac{1}{z}\big)+a\\ \\ &=&\cfrac{1}{z^4}\big(a-(a+1)bz +(a^2+b^2+1)z^2-(a+1)bz^3 +az^4\big)\\ \\ &=&\cfrac{f(z)}{z^4}\\ \\ &=&0 \end{eqnarray*}
(4)
$(2)より \quad f(x)=(x^2-bx+a)(ax^2-bx+1) \quad と因数分解されるから$
$f(x)=0\ \ より \quad x^2-bx+a=0,\quad ax^2-bx+1 =0$
$f(x)=0 \ が異なる \ 4\ つの実数解をもつためには$
(i)$\ \ ax^2-bx+1 =0 \ \ が \ 2\ 次方程式でなくてはならないから \quad a \ne 0$
(ii)$\ \ x^2-bx+a=0 \ \ と \ \ ax^2-bx+1 =0 \ \ が異なる \ 2\ 次方程式でなくてはならないから \quad a \ne 1$
(iii)$\ \ x^2-bx+a=0\ \ と \ \ ax^2-bx+1 =0 \ \ がそれぞれ異なる \ 2\ つの実数解を持たねばならないから$
$\qquad D=b^2-4a >0$
(iv)$\ \ x^2-bx+a=0 \ \ と \ \ ax^2-bx+1 =0 \ \ が共通解 \ \ \gamma \ \ をもつとすると$
$\quad \gamma^2-b\gamma+a=0 , \qquad a\gamma^2-b\gamma+1 =0$
$\quad 辺々引いて \quad (a-1)\gamma ^2+1-a=0 \qquad (a-1)(\gamma ^2-1)=0 \qquad a \ne 1 \ \ だから \quad \gamma ^2=1$
$\quad \gamma =1 \ \ のとき \quad 1-b+a=0 ,\qquad \gamma =-1 \ \ のとき \quad 1+b+a=0$
$\quad よって共通解 \ \ \gamma \ \ \ をもたない条件は \quad a-b+1 \ne 0,\quad a+b+1 \ne 0$
$以上より \quad f(x)=0 \ が異なる \ 4\ つの実数解をもつための条件は$
$\quad a \ne 0,\quad a \ne 1, \quad b^2-4a > 0,\quad a-b+1 \ne 0,\quad a+b+1 \ne 0$
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\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}