福島県立医科大学 2023年 問題1(4)
$関数 \ f(x)=e^{\sqrt{3}x}\cos 3x \ \ の第 \ 50\ 次導関数を \ \ f^{(50)}(x)\ \ とする。三角関数の合成を考えることにより、$
$方程式 \ \ f^{(50)}(x)=0 \ \ の \ 0 \leqq x \leqq 2\pi \ における解をすべて求めよ。$
$f(x)=e^{\sqrt{3}x}\cos 3x $
\begin{eqnarray*} f'(x) &=&\sqrt{3}e^{\sqrt{3}x}\cos 3x -3e^{\sqrt{3}x}\sin 3x\\ \\ &=&\sqrt{3}e^{\sqrt{3}x}(\cos 3x -\sqrt{3}\sin 3x)\\ \\ &=&2\sqrt{3}e^{\sqrt{3}x}(\cfrac{1}{2}\cos 3x -\cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 3x)\\ \\ &=&2\sqrt{3}e^{\sqrt{3}x}(\cos \cfrac{\pi}{3}\cos 3x -\sin \cfrac{\pi}{3}\sin 3x)\\ \\ &=&2\sqrt{3}e^{\sqrt{3}x}\cos (3x + \cfrac{\pi}{3})\\ \end{eqnarray*} $この結果から$
$f^{(n)}(x)=(2\sqrt{3})^ne^{\sqrt{3}x}\cos (3x + \cfrac{n}{3}\pi) \quad と推察されるが、これが正しいことを数学的帰納法で証明する。$
$(1)\ \ n=1\ のとき \quad 上で証明済み$
$(2)\ \ n=k\ のとき成りたつとすると \quad f^{(k)}(x)=(2\sqrt{3})^k e^{\sqrt{3}x}\cos (3x + \cfrac{k}{3}\pi)$
$このとき$
\begin{eqnarray*} f^{k+1}(x) &=&\sqrt{3} (2\sqrt{3})^k e^{\sqrt{3}x}\cos (3x +\cfrac{k}{3}\pi)-3(2\sqrt{3})^k e^{\sqrt{3}x} \sin (3x +\cfrac{k}{3}\pi)\\ \\ &=&\sqrt{3}(2\sqrt{3})^k e^{\sqrt{3}x}\big(\cos (3x +\cfrac{k}{3}\pi)-\sqrt{3}\sin (3x +\cfrac{k}{3}\pi)\big)\\ \\ &=&2\sqrt{3}(2\sqrt{3})^k e^{\sqrt{3}x}\big(\cfrac{1}{2}\cos (3x +\cfrac{k}{3}\pi)-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin (3x +\cfrac{k}{3}\pi)\big)\\ \\ &=&(2\sqrt{3})^{k+1} e^{\sqrt{3}x}\big(\cos \cfrac{\pi}{3}\cos (3x +\cfrac{k}{3}\pi)-\sin \cfrac{\pi}{3}\sin (3x +\cfrac{k}{3}\pi)\big)\\ \\ &=&(2\sqrt{3})^{k+1} e^{\sqrt{3}x}\cos (\cfrac{\pi}{3} + 3x + \cfrac{k}{3}\pi)\\ \\ &=&(2\sqrt{3})^{k+1} e^{\sqrt{3}x}\cos (3x + \cfrac{k+1}{3}\pi)\\ \end{eqnarray*} $よって \ \ n=k+1 \ のときも成りたつ。$
$(1),(2)よりすべての自然数 \ n で成りたつ。$
$n=50\ のとき$
$f^{(50)}(x)=(2\sqrt{3})^{50}e^{\sqrt{3}x}\cos (3x + \cfrac{50}{3}\pi)=(2\sqrt{3})^{50}e^{\sqrt{3}x}\cos (3x + \cfrac{2}{3}\pi)$
$f^{(50)}(x)=0 \ \ の解は \quad \cos (3x + \cfrac{2}{3}\pi)=0 \quad を満たす \ x\ である。$
$0 \leqq x \leqq 2\pi \quad より \quad \cfrac{2}{3}\pi \leqq 3x + \cfrac{2}{3}\pi \leqq \cfrac{20}{3}\pi \quad だから$
$3x+\cfrac{2}{3}\pi=\pi,\ \ 2\pi,\ \ 3\pi,\ \ 4\pi,\ \ 5\pi,\ \ 6\pi$
$したがって$
$x=\cfrac{1}{9}\pi,\ \ \cfrac{4}{9}\pi,\ \ \cfrac{7}{9}\pi,\ \ \cfrac{10}{9}\pi,\ \ \cfrac{13}{9}\pi,\ \ \cfrac{16}{9}\pi$
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\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}