福島県立医科大学 2023年 問題1(3)
$右表は、100\ 人の生徒を \ 2\ つのクラス \ X,\ Y\ に分けて行った試験の結果である。$
$100\ 人全体の点数についての平均点が \ 60\ 点、分散が \ 87\ であるとき、$
$Xクラスの平均点 \ \overline{x}\ の値を求めよ。ただし、\overline{x} < \overline{y} \ \ である。$
$\hspace{25em}$
\[\sum_{i=1}^{60} x_i,\ \ \sum_{i=1}^{40} y_i \ \ を単に \ \ \sum x_i,\ \ \sum y_i \ \ と書くことにする。\] \[100\ 人全体の平均点が \ 60\ 点 だから \quad \cfrac{\sum x_i + \sum y_i}{100}=60\] \[60 \times \cfrac{\sum x_i}{60} + 40 \times \cfrac{\sum y_i}{40}=6000\] $60\overline{x}+ 40\overline{y}=6000$
$3\overline{x}+ 2\overline{y}=300 \hspace{5em}(1)$
\[Xの分散について \quad \cfrac{\sum x_i^2}{60}-\overline{x}^2=83 \quad より \quad \sum x_i^2=60(\overline{x}^2 +83)\] \[Yの分散について \quad \cfrac{\sum y_i^2}{40}-\overline{y}^2=78 \quad より \quad \sum y_i^2=40(\overline{y}^2 +78)\] \[全体の分散について \quad \cfrac{\sum x_i^2+ \sum y_i^2}{100}-60^2=87 \quad より \quad \sum x_i^2+ \sum y_i^2= 100(60^2+87)=368700\]
$よって \quad 60(\overline{x}^2+83) + 40(\overline{y}^2+78)=368700$
$3(\overline{x}^2+83) + 2(\overline{y}^2+78)=18435$
$3\overline{x}^2 + 2\overline{y}^2 =18435 -3 \times 83- 2 \times 78=18030$
$①より \quad \overline{y}=\cfrac{1}{2}(300- 3\overline{x})=\cfrac{3}{2}(100- \overline{x}) \quad を代入して$
$3\overline{x}^2 + \cfrac{9}{2}(100- \overline{x})^2=18030$
$15\overline{x}^2 -1800\overline{x} +90000=36060$
$15\overline{x}^2 -1800\overline{x} +53940=0$
$\overline{x}^2 -120\overline{x} + 3596=0$
$\overline{x}=60 \pm \sqrt{60^2 - 3596}=60 \pm \sqrt{4}$
$\therefore \ \ \overline{x}=62,\ \ 58$
$\overline{x}=62 \quad のとき \quad \overline{y}=\cfrac{3}{2}(100- 62)=57$
$\overline{x}=58 \quad のとき \quad \overline{y}=\cfrac{3}{2}(100- 58)=63$
$\overline{x} < \overline{y} \ \ だから \quad \overline{x}=58 , \quad \overline{y}=63$
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