福島県立医科大学 2023年 問題1(2)
$自然数 \ n\ について、3^n\ を \ 5\ で割ったときの余りを \ r_n\ とする。すべての自然数 \ n\ について、$
$等式 \ \ r_{n+m} =r_n \ \ を満たす最小の自然数 \ m\ を求めよ。$
$また、2023^{2023}\ \ を \ 5\ で割ったときの余りを求めよ。$
$(前半)$
$k,\ l\ を自然数として$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} 3^{n+m}=5k+r_{n+m} \hspace{5.5em}(1)\\ 3^n=5l+r_n \hspace{8em}(2)\\ \end{array} \right. \]
$(1)-(2)\ より$
$3^{n+m}-3^n=5(k-l)$
$3^(3^m-1)=5(k-l)$
$3^n \ と \ 5\ は互いに素だから \ \ 3^m-1\ は \ 5\ の倍数$
$m=1\ から順次代入して、これを満たす最小の自然数 \ m\ を探すと \ m=4\ が見つかる。$
$あるいは、5\ は素数で、(3,5)=1 \ \ (3\ と \ 5\ の最大公約数のこと)\ \ だから、フェルマーの定理より$
$\hspace{3em}(フェルマーの定理は$フェルマーの小定理$を参考にしてください。)$
$3^{5-1} \equiv 1 \ \ (\mod 5) \quad よって \quad m=4$
$(後半)$
$一般に、「k\ が正の整数のとき、p\ を法として \quad a \equiv b \ \ ならば \ \ a^k \equiv b^k 」\quad が成りたつから$
$\hspace{3em}(このことについては$合同式$を参考にしてください。)$
$2023=5 \times 404+3 \ \ より \quad 2023 \equiv 3 \ \ (\mod 5)$
$よって \quad 2023^{2023} \equiv 3^{2023}\ \ (\mod 5)$
$次に、前半の結果を拡張して$
$「3^{n+4} \equiv 3^n \quad ならば \quad 3^{n+4k} \equiv 3^n \ \ (\mod 5)\ \ が成りたつ」\ \ ことを数学的帰納法で証明する。$
(i)$\ \ k=1\ \ のときは前半で証明されている。$
(ii)$\ \ k=l\ \ のとき成りたつとすると \quad 3^{n+4l} \equiv 3^n$
$このとき$
$3^{n+4(l+1)} =3^{n+4l} \times 3^4 \equiv 3^n \times 3^4=3^{n+4} \equiv 3^n$
$よって \quad k=l+1\ \ のときもなりたつ$
$2023=4 \times 505+3 \quad だから$
\begin{eqnarray*} 3^{2023} &\equiv & 3^{3+ 4 \times 505} \\ \\ &\equiv & 3^3\\ \\ &=&27\\ \\ &\equiv &2 \end{eqnarray*}
$よって、2023^{2023}\ \ を \ 5\ で割ったときの余りは \ \ 2$
$(後半の別解)$
$前半の結論より \quad 3^4 \equiv 1 \ \ (\mod 5) \quad だから$
\begin{eqnarray*} 3^{2023} &=&3^{3+ 4 \times 505}\\ \\ &=&3^3 \times (3^4)^{505}\\ \\ &\equiv&3^3 \times 1^{505}\\ \\ &=&27 \end{eqnarray*}
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\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}