福島県立医科大学 2023年 問題1-1
$a=\sqrt{2-\sqrt{3}},\ \ b=\sqrt{2+\sqrt{3}}\ \ について、b^7-a^7=c\sqrt{d}\ \ となる \ 2\ 以上の整数 \ c,\ d\ を求めよ。$
$a=\sqrt{2 -\sqrt{3}}=\sqrt{\cfrac{4 - 2\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\cfrac{(\sqrt{3} -1)^2}{2}}=\cfrac{\sqrt{3} -1}{\sqrt{2}}$
$b=\sqrt{2 +\sqrt{3}}=\sqrt{\cfrac{4 + 2\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\cfrac{(\sqrt{3} +1)^2}{2}}=\cfrac{\sqrt{3} +1}{\sqrt{2}} \quad より$
$b+a=\cfrac{\sqrt{3} +1}{\sqrt{2}}+ \cfrac{\sqrt{3} -1}{\sqrt{2}}=\cfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}$
$b-a=\cfrac{\sqrt{3} +1}{\sqrt{2}}- \cfrac{\sqrt{3} -1}{\sqrt{2}}=\cfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
$ba=\cfrac{\sqrt{3} +1}{\sqrt{2}} \times \cfrac{\sqrt{3} -1}{\sqrt{2}}=\cfrac{3-1}{2}=1$
$したがって$
$b^2+a^2=(b+a)^2-2ba=6-2=4$
$b^3+a^3=(b+a)^3-3ba(b+a)=6\sqrt{6}-3\sqrt{6}=3\sqrt{6}$
$以上より$
\begin{eqnarray*} b^7-a^7 &=&(b^4-a^4)(b^3+a^3)-b^4a^3+b^3a^4\\ \\ &=&(b^2-a^2)(b^2+a^2)(b^3+a^3)-b^3a^3(b-a)\\ \\ &=&(b-a)(b+a)(b^2+a^2)(b^3+a^3)-b^3a^3(b-a)\\ \\ &=&\sqrt{2} \times \sqrt{6} \times 4 \times 3\sqrt{6} - \sqrt{2}\\ \\ &=&72\sqrt{2}-\sqrt{2}\\ \\ &=&71\sqrt{2} \end{eqnarray*}
$よって \quad c=71,\quad d=2$
$(別解)$
$a+b=\sqrt{6},\quad ab=1 \quad より \ \ a,\ b\ \ は \ \ t^2-\sqrt{6}t+1=0 \ \ の解である。$
$t^2+1=\sqrt{6}t$
$(t^2+1)^2=6t^2$
$\therefore \ \ t^4-4t^2+1=0$
$t^7\ \ を \ \ t^4-4t^2+1 \ \ で割ると、商 \ \ t^3+4t,\ \ 余り \ \ 15t^3-4t \ \ が得られるから$
$この余り \ \ 15t^3-4t \ \ を \ \ t^2-\sqrt{6}t+1 \ \ で割ると、商\ \ 15t+15\sqrt{6} ,\ \ 余り\ \ 71t-15\sqrt{6} \ \ が得られる。$
$なお、t^7 \ \ を \ \ t^2-\sqrt{6}t+1 \ \ で割って、商 \ \ t^5+\sqrt{6}t^4+5t^3+4\sqrt{6}t^2+19t+15\sqrt{6} ,\ \ 余り \ \ 71t-15\sqrt{6}$
$を求める方法もあるが、割算が少々大変です。$
\begin{eqnarray*} t^7 &=&(t^4-4t^2+1)(t^3+4t)+15t^3-4t\\ \\ &=&(t^4-4t^2+1)(t^3+4t)+(t^2-\sqrt{6}t+1)(15t+15\sqrt{6})+71t-15\sqrt{6}\\ \end{eqnarray*}
$したがって$
\begin{eqnarray*} b^7-a^7 &=&(71b-15\sqrt{6})-(71a-15\sqrt{6})\\ \\ &=&71(b-a)\\ \\ &=&71\sqrt{2} \end{eqnarray*}
メインメニュー に戻る
\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}