(狭義)フーリェ級数
$例3$
$区間[0,2\pi]において\{1,\cos nx,\sin nx\}(n=1,2,\cdots )は直交系をなし、\{\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}},\cfrac{1}{\sqrt{\pi}}\cos nx,\cfrac{1}{\sqrt{\pi}}\sin nx\}は$
$正規直交系となります。$
\[\quad \{\varphi_n(x)\} を正規直交系とし、f_n=\sum_{j=1}^n c_j\varphi_j , \quad f=\sum_{j=1}^\infty c_j\varphi_j \ \ とする。\] $\quad f$のこのような表現を（広義の）フーリェ級数展開という。
$\quad n\geqq j ならば (\varphi _j , \varphi _{n+1})=0, (\varphi _j , \varphi _{n+2})=0, \cdots \ \ だから$
\[f-f_n=\sum_{j=n+1}^\infty c_j\varphi_j は \varphi_j (j=1,2,\cdots n) に直交する。 \] $すなわち \varphi _j \perp (f-f_n)$
\[\sum_{j=1}^n c_j\varphi_j \perp (f-f_n) \hspace{36em} \] $\quad \therefore f_n \perp (f-f_n)$
よって
$\quad f=f_n+(f-f_n) だから ||f||^2=||f_n||^2+||f-f_n||^2$
\begin{eqnarray*} ||f_n||^2 &=&||c_1\varphi _1+c_2\varphi _2+ \cdots +c_n\varphi _n||^2 \hspace{27em}\\ &=&\sum_{j=1}^n c_j^2||\varphi_j||^2 \\ &=&\sum_{j=1}^n c_j^2 \\ \end{eqnarray*} したがって
\[||f||^2=\sum_{j=1}^n c_j^2+||f-f_n||^2 \hspace{8em}(1) \hspace{20em}\] $\hspace{1em}||f-f_n||^2 \geqq 0$ だから
\[||f||^2 \geqq \sum_{j=1}^n c_j^2 \hspace{34em} \] $nは任意の自然数だから$
\[||f||^2 \geqq \sum_{j=1}^\infty c_j^2 \] $これをベッセルの不等式という。$
\[(1) \ は ||f-f_n||^2 = ||f||^2-\sum_{j=1}^n c_j^2 \] $n \rightarrow \infty とすると$
\[||f-f_n|| \rightarrow 0 \ \Longleftrightarrow \ ||f||^2 = \sum_{j=1}^ \infty c_j^2 \] $すなわち fのフーリェ級数が収束し、その和がfに等しくなる必要十分条件は$
\[||f||^2=\sum_{j=1}^\infty c_j^2 \] $となることで、これをパーセバルの等式という。$
$パーセバルの等式が成り立つとき、正規直交系\{\varphi_n\} は完全であるという。$
(i) 区間$[- \pi,\pi]$ で積分可能な関数$f(x)$ に対し、
\[a_n=\cfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx , \quad b_n=\cfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx \hspace{17em}\] \[a_0=\cfrac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx \quad (n=0,1,2, \cdots ) \hspace{24em}\]
をフーリェ係数といい \[\cfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n\cos nx+b_n\sin nx)\hspace{25em}\] を$f(x)$ のフーリェ級数という。
(ii) 区間 $[-\pi,\pi]$ において、関数系$\{1,\cos nx,\sin nx\}$は直交系をなし、
この区間で連続な関数全体の集合において完全である。
(iii)$f(x)$ が$2\pi$ を周期とする区分的に滑らかな関数ならば、$f(x)$のフーリェ係数
$\hspace{2em} a_n,b_n$に対し、フーリェ級数は収束して、その和は $f(x)$ に等しい。
もう少し正確にいえば \[\cfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n\cos nx+b_n\sin nx) = \cfrac{1}{2}\{f(x+0)+f(x-0)\}\hspace{14em}\] が成り立つ。
このあたりの論理の展開や証明はかなりやっかいです。
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