MY MATH NOTE

傍心

$\quad 定理 \quad 三角形の \ 1\ つの内角と2つの外角の二等分線は \ 1\ 点で交わる。$

　
$\qquad この点を三角形の$ 傍心 $という。$


$証明$

$\triangle ABC \ \ において、\angle B\ と \ \angle C\ の外角の二等分線の交点を \ I_1\ とする。$

$点I_1\ から辺 \ BC\ および,AC,\ AB\ の延長上に下ろした垂線の足をそれぞれ \ D,\ E,\ F\ とする。$
$直角三角形 \ I_1CD\ と \ I_1CE\ において、I_1 C\ は共通、\angle I_1CD =\angle I_1CE \quad だから$
$\triangle I_1CD \equiv \triangle I_1CE \quad よって \quad I_1D=I_1E$

　
$同様にして、\triangle I_1BD \equiv \triangle I_1BF \quad より \quad I_1D=I_1F$

$したがって \quad I_1E=I_1F$

$直角三角形 \ I_1AE\ と \ I_1AF\ \ において \quad I_1 A\ \ は共通、I_1E =I_1F \quad だから$
$\triangle I_1AE \equiv \triangle I_1AF \quad となって \quad \angle I_1AE=\angle I_1AF $
$よって、点I_1\ は \ \angle A\ の二等分線上にある。$

$すなわち \quad \triangle ABC\ \ の \angle A \ と \ 2\ つの\ \angle B,\ \angle C\ の外角 の二等分線は \ 1\ 点で交わる。$

　
$また、証明からわかるように \quad I_1D=I_1E=I_1F \quad だから点 \ I_1\ を中心、$
$半径 \ I_1D\ の円をかけば、この円は点 \ E,\ F\ を通る。$
$この円を \ \triangle ABC \ の傍接円という。$

$なお$
$\quad \angle B\ と \ \angle C,\ \angle A\ の外角 の二等分線は \ 1\ 点 \ I_2で交わり、$
$\quad \angle C\ と \ \angle A,\ \angle B\ の外角 の二等分線は \ 1\ 点 \ I_3で交わる。$
$よって、\triangle ABC \ の傍心と傍接円は \ 3\ つある。$

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