同志社大学(理系) 2026年　問題2


$関数\ f(x)=\log (1+e^x)-\dfrac{x}{2}\ \ とする。関数 \ f(x)\ の第 \ 1\ 次、第 \ 2\ 次、第 \ 3\ 次導関数をそれぞれ \ f'(x),\ f''(x),$
$f'''(x)\ で表す。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ f(1),\ \ f(\log 2)\ \ の値をそれぞれ求めよ。また、f'(x)=\alpha -\dfrac{1}{1+e^x}\ \ となる定数 \ \alpha \ の値を求めよ。$
$(2)\ \ \log f''(x )=kf(x) \ \ となる定数 \ k\ の値を求めよ。$
$(3)\ \ 関数 \ g(u)=u(\log u)^2 \ \ (u > 0)\ \ とし、合成関数 \ g(f''(x)) \ を考える。このとき、\dfrac{d}{dx}g(f''(x))=h(X)f'''(x))$
$\quad を満たす \ h(X)\ について、h(X)\ を \ X\ の多項式で表せ。ただし、X=\log f''(x) \ \ とする。$
\[(4)\ \ I=36\int_0^{\log 2} \big(\{f(x)\}^2 -f(x)\big)f'''(x)dx \ \ とし、\alpha=\log 2,\ \ b=\log 3 \ \ とする。I=Ab^2+Bab+Ca^2 \ \ を\] $\quad 満たす整数 \ A,\ B,\ C\ の値を求めよ。$


(1)


$f(x)=\log (1+e^x)-\dfrac{x}{2}\ \ より$

$f(0)=\log(1+e^0)=\log 2$

$f(\log 2)=\log (1+e^{\log 2})-\dfrac{1}{2}\log 2=\log (1+2)-\dfrac{1}{2}\log 2=\log 3-\dfrac{1}{2}\log 2$

$f'(x)=\dfrac{e^x}{1+e^x}-\dfrac{1}{2}=\big(1-\dfrac{1}{1+e^x}\big)-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{1+e^x} \qquad \therefore \ \ \alpha =\dfrac{1}{2}$


(2)


$f'(x)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{1+e^x} \ \ より \quad f''(x)=\dfrac{e^x}{(1+e^x)^2}\\ $

\begin{eqnarray*} & &\log f''(x)\\ \\ &=&\log e^x -\log (1+e^x)^2\\ \\ &=&x -2\log (1+e^x)\\ \\ &=&-2\big(\log (1+e^x)-\dfrac{x}{2}\big)\\ \\ &=&-2f(x) \end{eqnarray*} $\therefore\ \ k=-2$


(3)


$g(u)=u(\log u)^2 \ \ より \quad g'(u)=(\log u)^2+2u(\log u) \times \dfrac{1}{u}=(\log u)^2+2\log u \quad だから$

\begin{eqnarray*} & &\dfrac{d}{dx}g(f''(x))\\ \\ &=&g'(f''(x))\cdot f'''(x)\\ \\ &=&\big\{(\log f''(x))^2+2\log f''(x)\big\} \cdot f'''(x)\\ \\ &=&(X^2+2X)f'''(x) \end{eqnarray*} $\therefore \ \ h(X)=X^2+2X$


(4)


$(2)より \quad \log f''(x)=-2f(x) \ \ だから \quad f(x)=-\dfrac{1}{2}\log f''(x)=-\dfrac{X}{2}$

\begin{eqnarray*} I &=&36\int_0^{\log 2} \big(\{f(x)\}^2 -f(x)\big)f'''(x)dx\\ \\ &=&36\int_0^{\log 2} \big(\dfrac{X^2}{4} +\dfrac{X}{2}\big)f'''(x)dx\\ \\ &=&9\int_0^{\log 2} (X^2 + 2X)f'''(x)dx\\ \\ &=&9\int_0^{\log 2} \dfrac{d}{dx}g(f''(x)) dx \hspace{5em}((3)より)\\ \\ &=&9\ \big[g(f''(x))\big]_0^{\log 2}\\ \\ &=&9\big\{g(f''(\log 2))-g(f''(0))\big\}\\ \end{eqnarray*}
$ここで、(2) より \quad \log f''(x)=-2f(x) \ \ だから(1) をつかって$

$\log f''(0)=-2f(0)=-2\log 2=\log 2^{-2}=\log \dfrac{1}{4} \qquad \therefore \ \ f''(0)=\dfrac{1}{4}$

$\log f''(\log 2)=-2f(\log 2)=-2(\log 3-\dfrac{1}{2}\log2)=-2\log \dfrac{3}{\sqrt{2}}=\log \big(\dfrac{3}{\sqrt{2}}\big)^{-2}=\log \dfrac{2}{9} \qquad \therefore \ \ f''(\log 2)=\dfrac{2}{9}$

$よって$

\begin{eqnarray*} I &=&9\big\{g(f''(\log 2))-g(f''(0))\big\}\\ \\ &=&9\big\{\big(g(\dfrac{2}{9})-g(\dfrac{1}{4})\big\}\\ \\ &=&9\big\{\dfrac{2}{9}\big(\log \dfrac{2}{9}\big)^2- \dfrac{1}{4}\big(\log \dfrac{1}{4}\big)^2\big\}\\ \\ &=&2(\log 2-\log 9)^2-\dfrac{9}{4}(-\log 4)^2\\ \\ &=&2(\log 2-2\log 3)^2-\dfrac{9}{4}(2\log 2)^2\\ \\ &=&2(a-2b)^2-\dfrac{9}{4}(2a)^2\\ \\ &=&8b^2-8ab-7a^2 \end{eqnarray*}
$したがって \quad A=8,\quad B=-8,\quad C=-7$


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