同志社大学(理系) 2026年 問題1(2)
$(2)\ \ i\ を虚数単位とし、複素数平面上の原点 \ O\ とは異なる点 \ z\ に対し、 \alpha =z^2+\dfrac{1}{z^2} ,\ \ \beta=\big(z-\dfrac{1}{z}\big)\big(z^5-\dfrac{1}{z^5}\big)$
$とする。このとき、\beta \ は \ \alpha \ の \ 3\ 次式となり、この式の定数項は \ \fbox{$\quad カ \quad $}、点 \ z\ が点 \ 1\ と点 \ \sqrt{2}\ を結ぶ線分上$
$を動くとき、\beta \ は実数であり、\beta \ の最大値は\ \fbox{$\quad キ \quad $}。$
$また、実数 \ \theta \ に対し、z=\cos \theta +i\sin \theta \ \ であるとき、t=\cos 2\theta \ \ として \ \alpha \ を \ t\ の式で表すと、\alpha =\fbox{$\quad ク \quad $}$
$したがって、点 \ z\ が原点 \ O\ を中心とする半径 \ 1\ の円上を動くとき、\beta \ は実数となり、\beta \ の最小値および$
$最大値はそれぞれ\ \fbox{$\quad ケ \quad $}、\dfrac{25}{27}+ \ \fbox{$\quad コ \quad $}\sqrt{10}。$
(2)
\begin{eqnarray*} \beta &=&\big(z-\dfrac{1}{z}\big)\big(z^5-\dfrac{1}{z^5}\big)\\ \\ &=&\big(z-\dfrac{1}{z}\big)\big(z-\dfrac{1}{z}\big)\big\{z^4+z^3(\dfrac{1}{z})+z^2(\dfrac{1}{z^2})+z(\dfrac{1}{z^3})+ (\dfrac{1}{z^4})\big\}\\ \\ &=&\big(z-\dfrac{1}{z}\big)^2 \big(z^4+z^2 +1 +\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{z^4}\big)\\ \\ &=&\big(z-\dfrac{1}{z}\big)^2 \big(z^4+ \dfrac{1}{z^4}+ z^2 +\dfrac{1}{z^2}+ 1\big)\\ \\ &=&\big(z^2+\dfrac{1}{z^2}-2\big)\big\{ \big(z^2+ \dfrac{1}{z^2}\big)^2-2 + z^2 +\dfrac{1}{z^2}+ 1\big\}\\ \\ &=&(\alpha -2)(\alpha ^2+\alpha -1)\\ \\ &=&\alpha ^3-\alpha ^2-3\alpha +2 \end{eqnarray*}
$\alpha=z^2+\dfrac{1}{z^2}=x^2+\dfrac{1}{x^2} $
$\alpha '=2x-\dfrac{2}{x^3}=\dfrac{2(x^4-1)}{x^3} \geqq 0 \quad だから$
$この区間で \ \alpha \ は単調増加$
$\alpha \ のグラフは右図のとおり$
$x=1 \ \ のとき \ \ \alpha =2 ,\quad x=\sqrt{2}\ \ のとき \ \ \alpha =\dfrac{5}{2}$
$よって \quad 2 \leqq \alpha \leqq \dfrac{5}{2}$
$\beta =\alpha ^3-\alpha ^2-3\alpha +2 \quad より \quad \beta '=3\alpha ^2-2\alpha -3$
$\beta '=0 \ \ より\ \ \alpha =\dfrac{1 \pm \sqrt{10}}{3}$
$よって \quad \beta '=3\big(\alpha - \dfrac{1 -\sqrt{10}}{3}\big)\big(\alpha - \dfrac{1 + \sqrt{10}}{3}\big)$
$\dfrac{1+\sqrt{10}}{3} < 2 \ \ だから \ \ \beta ' > 0 \ \ となり\ \ \beta \ は \ \ 2 \leqq \alpha \leqq \dfrac{5}{2}\ \ で単調増加$
$したがって \quad \beta \ は \ \ \alpha =\dfrac{5}{2}\ \ で最大となり、最大値は$
$\beta=\big(\dfrac{5}{2}\big)^3-\big(\dfrac{5}{2}\big)^2 -3\big(\dfrac{5}{2}\big)+2=\dfrac{125}{8}-\dfrac{25}{4}-\dfrac{15}{2}+2=\dfrac{31}{8}$
$z=\cos \theta +i\sin \theta \quad のとき$
\begin{eqnarray*} \alpha &=&z^2+\dfrac{1}{z^2}\\ \\ &=&(\cos \theta +i\sin \theta)^2+\dfrac{1}{(\cos \theta +i\sin \theta)^2}\\ \\ &=&\cos 2\theta +i\sin 2\theta + \dfrac{1}{\cos 2\theta +i\sin 2\theta}\\ \\ &=&\cos 2\theta +i\sin 2\theta + \dfrac{\cos 2\theta -i\sin 2\theta}{\cos ^2 2\theta +\sin ^2 2\theta}\\ \\ &=&2\cos 2\theta\\ \\ &=&2t \end{eqnarray*}
$z\ が原点 \ O\ を中心とする半径 \ 1\ の円上を動くとき \alpha =2t \ \ だから$
\begin{eqnarray*} \beta &=&\alpha ^3-\alpha ^2-3\alpha +2 \\ \\ &=&(2t)^3-(2t)^2-3(2t)+2\\ \\ &=&8t^3-4t^2-6t+2 \end{eqnarray*} $したがって \beta \ は実数である。$
$t=\cos 2\theta \ \ より \quad -1 \leqq t \leqq 1$
$\beta '=24t^2-8t-6=2(12t^2-4t-3)$
$\beta =0 \ \ より \quad t=\dfrac{2 \pm \sqrt{4+36}}{12}=\dfrac{1 \pm \sqrt{10}}{6}$
$-1 < \dfrac{1 - \sqrt{10}}{6} < \dfrac{1 + \sqrt{10}}{6} < 1 \quad だから$
$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t & -1 & \cdots & \dfrac{1-\sqrt{10}}{6} & \cdots & \dfrac{1+\sqrt{10}}{6} & \cdots & 1\\ \hline \beta '& & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \beta & -4 & \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow & 0\\ \end{array} \]
$端点の値は$
$t=-1 \ \ のとき \quad \beta =-8-4+6+2=-4,\quad t=1 \ \ のとき \quad \beta=8-4-6+2=0$
$極値の値は$
$\beta を \beta ' で割って商と余りを求めると$
$8t^3-4t^2-6t+2=(12t^2-4t-3)(\dfrac{2}{3}t-\dfrac{1}{4})-\dfrac{40}{9}t+\dfrac{5}{3} \quad だから$
$極大値は \quad t=\dfrac{1-\sqrt{10}}{6} \ \ のとき \quad \beta=-\dfrac{40}{9} \times \dfrac{1-\sqrt{10}}{6}+\dfrac{5}{3}=-\dfrac{20(1-\sqrt{10})}{27}+\dfrac{5}{3}=\dfrac{25+20\sqrt{10}}{27}$
$極小値は \quad t=\dfrac{1+\sqrt{10}}{6} \ \ のとき \quad \beta=-\dfrac{40}{9} \times \dfrac{1+\sqrt{10}}{6}+\dfrac{5}{3}=-\dfrac{20(1+\sqrt{10})}{27}+\dfrac{5}{3}=\dfrac{25-20\sqrt{10}}{27}$
$よって \quad \beta \ の$
$最大値は \quad t=\dfrac{1-\sqrt{10}}{6} \ \ のとき \quad \beta=\dfrac{25+20\sqrt{10}}{27}$
$最小値を求めるために極小値と端点の値 \ -4 \ の大小を調べる。$
$3 < \sqrt{10} <4 \ \ だから \quad 5-16 < 5-4\sqrt{10} <5-12 $
$-11 \times \dfrac{5}{27} < \dfrac{5(5-4\sqrt{10})}{27} < -7 \times \dfrac{5}{27}$
$\therefore \ \ -4=-\dfrac{108}{27} < -\dfrac{55}{27} < \dfrac{5(5-4\sqrt{10})}{27}$
$よって \quad 最小値は \quad t=-1\ \ のとき \quad \beta=-4$
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