同志社大学(理系) 2026年 問題1(1)
$次の \ \fbox{$ $}\ に適する数または式を求めよ。$
$(1)\ \ n\ を \ 3\ 以上の自然数とする。2\ 枚の硬貨を用意し、その \ 2\ 枚の硬貨を \ n\ 回くり返し投げ、k\ 回目に表が$
$出た枚数を \ X_k \ とする。0\ 以上の整数 \ m\ に対して、X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n \geqq m \ \ である確率を \ p_n(m)\ とする。$
$このとき、p_3(2)\ の値は \ \fbox{$\quad ア \quad $}、また、p_n(2026) > 0 \ \ となる \ n\ のうち、最小のものは\ \fbox{$\quad イ \quad $} \ 。$
$次に、p_n(1),\ \ p_n(2^{n-1}),\ \ p_n(5)\ \ を \ n\ の式で表すとそれぞれ\ \dfrac{\fbox{$\quad ウ \quad $}}{4^n},\ \ \dfrac{\fbox{$\quad エ \quad $}}{4^n},\ \ \dfrac{3^n-(\fbox{$\quad オ \quad $})2^{n-3}}{4^n}。$
(1)
$P(X_k=0)=\dfrac{1}{4},\quad P(X_k=1)=\dfrac{2}{4},\quad P(X_k=2)=\dfrac{1}{4}$
$p_3(2)\ は \quad X_1 X_2 X_3 \geqq 2 \ \ となる確率だから、表が出た枚数で場合分けすると$
(i)$\ \ 2\ 枚が \ 1\ 回、1\ 枚が \ 2\ 回である確率は \quad {}_3C_1\big(\dfrac{1}{4}\big)\big(\dfrac{2}{4}\big)^2=\dfrac{12}{4^3}$
(ii)$\ \ 2\ 枚が \ 2\ 回、1\ 枚が \ 1\ 回である確率は \quad {}_3C_2\big(\dfrac{1}{4}\big)^2\big(\dfrac{2}{4}\big)=\dfrac{6}{4^3}$
(iii)$\ \ 2\ 枚が \ 3\ 回である確率は \quad {}_3C_3\big(\dfrac{1}{4}\big)^3=\dfrac{1}{4^3}$
$これらは互いに排反だから$
$p_3(2)=\dfrac{12}{4^3}+\dfrac{6}{4^3}+\dfrac{1}{4^3}=\dfrac{19}{64}$
$p_n(2026)\ は \quad X_1 X_2 X_3 \geqq 2026 \ \ となる確率だから$
$n\ が最小となるのは、X_1=X_2= \cdots = X_n=2 \ \ のときである。$
$このとき \quad 2^n \geqq 2026$
$2^{10}=1024,\quad 2^{11}=2048 \ \ だから最小の \ n\ は \quad n=11$
$p_n(1) \ は \quad X_1 X_2 \cdots X_n \geqq 1 \ \ である確率$
$\quad X_i\ \ (i=1,\ 2,\ \cdots ,\ n)\ \ は \ 1\ または \ 2\ だからその確率は \quad \dfrac{3}{4}$
$\quad p_n(1)=\big(\dfrac{3}{4}\big)^n=\dfrac{3^n}{4^n}$
$p_n(2^{n-1}) \ \ は \quad X_1 X_2 \cdots X_n \geqq 2^{n-1} \ \ である確率$
$\quad X_i \ \ (i=1,\ 2,\cdots , \ n)\ \ は \ 1\ または \ 2\ である。$
$\quad $(i)$\ \ 1\ 枚が \ 1回、2\ 枚が \ (n-1)\ 回である確率は \quad {}_nC_1\big(\dfrac{2}{4}\big)\big(\dfrac{1}{4}\big)^{n-1}=\dfrac{2n}{4^n}$
$\quad $(ii)$\ \ 2\ 枚が \ n\ 回である確率は \quad \big(\dfrac{1}{4}\big)^n$
$\quad これらは互いに排反だから$
$\quad p_n(2^{n-1})=\dfrac{2n}{4^n}+\dfrac{1}{4^n}=\dfrac{2n+1}{4^n}$
$p_n(5) \ \ は \quad X_1 X_2 \cdots X_n \geqq 5 \ \ である確率$
$\quad q_n(m)\ \ を \ \ X_1 X_2 \cdots X_n =m \ \ である確率とすると$
$\quad p_n(5)=1-(q_n(0)+q_n(1)+q_n(2)+q_n(3)+q_n(4))$
$\quad q_n(0)\ は \ \ X_1 X_2 \cdots X_n =0\ \ となる確率$
$\qquad 余事象は、X_i \ \ (i=1,\ 2,\ \cdots ,\ n)\ \ は \ 1\ または \ 2\ だから$
$\qquad q_n(0)=1-\big(\dfrac{3}{4}\big)^n$
$\quad q_n(1) \ は \ \ X_1 X_2 \cdots X_n =1\ \ となる確率$
$\qquad X_1=X_2= \cdots = X_n=1 \ \ のときだから$
$\qquad q_n(1)=\big(\dfrac{2}{4}\big)^n$
$\quad q_n(2)\ は \ \ X_1 X_2 \cdots X_n =2\ \ となる確率$
$\qquad X_1,\ X_2, \ \cdots , \ X_n \ \ のうち \ 1\ つだけ \ 2\ で、残り\ (n-1) \ 個は \ 1\ だから$
$\qquad q_n(2)={}_nC_1\dfrac{1}{4}\big(\dfrac{2}{4}\big)^{n-1}=\dfrac{n2^{n-1}}{4^n}$
$\quad q_n(3)\ は \ \ X_1 X_2 \cdots X_n =3\ \ となることはないから$
$\qquad q_n(3)=0$
$\quad q_n(4)\ は \ \ X_1 X_2 \cdots X_n =4\ \ となる確率$
$\qquad X_1,\ X_2, \ \cdots , \ X_n \ \ のうち \ 2\ つだけ \ 2\ で、残り \ (n-2) \ 個は \ 1\ だから$
$\qquad q_n(4)={}_nC_2\big(\dfrac{1}{4}\big)^2\big(\dfrac{2}{4}\big)^{n-2}=\dfrac{n(n-1)2^{n-2}}{2\cdot 4^n}=\dfrac{n(n-1)2^{n-3}}{4^n}$
$\quad 以上より$
\begin{eqnarray*} \quad p_n(5) &=&1-(q_n(0)+q_n(1)+q_n(2)+q_n(3)+q_n(4))\\ \\ &=&1-\big(1-\big(\dfrac{3}{4}\big)^n\big)-\big(\dfrac{2}{4}\big)^n -\dfrac{n2^{n-1}}{4^n}-\dfrac{n(n-1)2^{n-3}}{4^n}\\ \\ &=&\dfrac{3^n-(2^n+n2^{n-1}+n(n-1)2^{n-3})}{4^n}\\ \\ &=&\dfrac{3^n-(2^3+2^2n+n(n-1))2^{n-3}}{4^n}\\ \\ &=&\dfrac{3^n-(n^2+3n+8)2^{n-3}}{4^n} \end{eqnarray*}
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