同志社大学(理系) 2024年 問題Ⅱ
$平面上の \ \triangle OAB\ において、|\vec{OA}|=2,\ \ |\vec{OB}|=3\ \ とし、辺 \ OA\ の中点を \ M\ とする。\angle AOB \ \ の二等分線を \ k,$
$\angle AMB \ の二等分線を \ \ell \ とし、k\ と \ \ell \ の交点を \ P\ とする。\vec{b}=\vec{OB},\ \ \vec{m}=\vec{OM},\ \ x=|\vec{BM}|\ \ とおく。$
$次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 直線 \ k\ と線分 \ BM\ の交点を \ C\ とする。実数 \ r,\ s\ が \ \ \vec{OC}=r\vec{b}+s\vec{m} \ \ を満たすとき、r,\ s\ の値を$
$\quad それぞれ求めよ。$
$(2)\ \ 直線 \ \ell \ と線分 \ AB\ の交点を \ D\ とする。実数 \ t,\ u\ が \ \ \vec{MD}=t\vec{b}+u\vec{m}\ \ を満たすとき、t,\ u\ を$
$\quad それぞれ \ x\ の式で表せ。$
$(3)\ \ 実数 \ y,\ z\ が \ \ \vec{OP}=y\vec{b}+z\vec{m}\ \ を満たすとき、y,\ z\ をそれぞれ \ x\ の式で表せ。$
$(4)\ \ 面積比について \ \ \triangle OAP:\triangle OAB=2:3\ \ が成り立つとする。このとき、x\ の値を求めよ。$
(1)
$\triangle MOB \ \ において、線分 \ OC\ は \ \angle MOB \ の二等分線、$
$点 \ M\ は \ 辺 \ OA\ の中点だから$
$MC:CB=OM:OB=1:3$
\begin{eqnarray*}
\vec{OC}
&=&\cfrac{1 \times \vec{OB}+ 3 \times \vec{OM}}{1+3}\\
\\
&=&\cfrac{1}{4} \vec{b}+ \cfrac{3}{4}\vec{m}\\
\end{eqnarray*}
$よって \quad r=\cfrac{1}{4} ,\quad s=\cfrac{3}{4}$
(2)
$\triangle AMB \ \ において、線分 \ MD\ は \ \angle AMB\ の二等分線だから$
$AD:DB=MA:MB=1:x$
\begin{eqnarray*}
\vec{MD}
&=&\cfrac{1 \times \vec{MB}+ x \times \vec{MA}}{1+x}\\
\\
&=&\cfrac{\vec{OB}-\vec{OM}+ x \vec{OM}}{x+1}\\
\\
&=&\cfrac{\vec{OB}+(x-1)\vec{OM}}{x+1}\\
\\
&=&\cfrac{1}{x+1} \vec{b}+ \cfrac{x-1}{x+1}\vec{m}\\
\end{eqnarray*}
$よって \quad t=\cfrac{1}{x+1} ,\quad u=\cfrac{x-1}{x+1}$
(3)
(i)$\ \ 点 \ P\ は直線 \ OC\ 上にあるから \ \alpha \ を実数として$
$\quad \vec{OP}=\alpha \vec{OC} \quad とおける。(1)より$
$\quad \vec{OP}=\alpha (\cfrac{1}{4} \vec{b}+ \cfrac{3}{4}\vec{m})=\cfrac{\alpha}{4}\vec{b}+ \cfrac{3\alpha}{4}\vec{m}$
(ii)$\ \ 点 \ P\ は直線 \ MD\ 上にあるから \ \beta \ を実数として$
$\quad \vec{MP}=\beta \vec{MD} \quad とおける。(2)より$
$\quad \vec{OP}-\vec{OM}=\beta \vec{MD}$
\begin{eqnarray*}
\quad
\vec{OP}
&=&\vec{OM}+\beta \vec{MD}\\
\\
&=&\vec{m}+\beta \big(\cfrac{1}{x+1} \vec{b}+ \cfrac{x-1}{x+1}\vec{m}\big)\\
\\
&=&\cfrac{\beta}{x+1} \vec{b}+ \big(1+\cfrac{\beta(x-1)}{x+1}\big)\vec{m}\\
\\
&=&\cfrac{\beta}{x+1} \vec{b}+ \cfrac{(1+\beta)x+1-\beta }{x+1}\vec{m}\\
\end{eqnarray*}
(i),(ii)$\ \ より$
$\cfrac{\alpha}{4}\vec{b}+ \cfrac{3\alpha}{4}\vec{m}=\cfrac{\beta}{x+1} \vec{b}+ \cfrac{(1+\beta)x+1-\beta }{x+1}\vec{m}$
$\vec{b}\ と \ \vec{m}\ は \ \vec{0}\ でなく、互いに平行でもないから$
\[
\hspace{1em}
\left\{ \begin{array}{l}
\cfrac{\alpha}{4}=\cfrac{\beta}{x+1} \hspace{10.5em}(1)\\
\cfrac{3\alpha}{4}=\cfrac{(1+\beta)x+1-\beta }{x+1} \hspace{5em}(2)\\
\end{array} \right.
\]
$(1)より \quad \alpha =\cfrac{4\beta}{x+1} \quad を(2)に代入して$
$\cfrac{3}{4} \times \cfrac{4\beta}{x+1}=\cfrac{(1+\beta)x+1-\beta }{x+1}$
$3\beta =(1+\beta)x+1-\beta $
$\beta=\cfrac{x+1}{4-x}$
$\alpha =\cfrac{4}{x+1} \times \cfrac{x+1}{4-x}=\cfrac{4}{4-x}$
$\vec{OP}=\cfrac{\alpha}{4}\vec{b}+ \cfrac{3\alpha}{4}\vec{m}=\cfrac{1}{4-x}\vec{b}+ \cfrac{3}{4-x}\vec{m}$
$したがって \quad y=\cfrac{1}{4-x}, \quad z=\cfrac{3}{4-x}$
(4)
$\triangle OAP \ と \ \triangle OAB \ は底辺 \ OA\ が共通だから面積比は高さの比に等しい。$
$\angle AOP=\theta \quad とおくと$
$\triangle OAP \ の高さは \ \ OP\sin \theta,\quad \triangle OAB \ の高さは \ \ OB\sin 2\theta \quad だから$
\begin{eqnarray*}
& &\triangle OAP : \triangle OAB\\
\\
&=&OP\sin \theta : OB\sin 2\theta \\
\\
&=&OP\sin \theta : 3\sin 2\theta\\
\\
&=&OP\sin \theta : 6\sin \theta \cos \theta\\
\\
&=&OP : 6 \cos \theta
\end{eqnarray*}
$ここで、\triangle OAP : \triangle OAB=2:3 \quad だから$
$ OP: 6\cos \theta=2:3$
$3OP=12\cos \theta$
$\therefore OP=4\cos \theta \hspace{5em}①$
$\triangle OMB \ \ に余弦定理を用いて \quad MB^2=OM^2+OB^2-2OM\cdot OB\cos 2\theta$
$x^2=1+9-2 \times 1 \times 3 \times \cos 2\theta$
$x^2=10-6\cos 2\theta$
$\therefore \ \ \cos 2\theta=\cfrac{10-x^2}{6} \hspace{5em}②$
$ただし、\triangle OMB \ \ の形状条件 \quad |OB-OM|< BM < OB+OM \quad より \quad 2 < x < 4$
$(3)より \vec{OP}=y\vec{b}+ z\vec{m}, \quad y=\cfrac{1}{4-x}, \quad z=\cfrac{3}{4-x} \hspace{5em}③$
\begin{eqnarray*}
|\vec{OP|^2}
&=&|y\vec{b}+ z\vec{m}|^2\\
\\
&=&y^2|\vec{b}|^2+ z^2|\vec{m}|^2+2yz\vec{b}\cdot \vec{m}\\
\\
&=&y^2|\vec{b}|^2+ z^2|\vec{m}|^2+2yz|\vec{b}||\vec{m}|\cos 2\theta\\
\\
&=&9y^2+ z^2+6yz\cos 2\theta\\
\end{eqnarray*}
$①を代入して$
$16\cos ^2\theta =9y^2+ z^2+6yz\cos 2\theta$
$8(1+\cos 2\theta) =9y^2+ z^2+6yz\cos 2\theta$
$(8-6yz)\cos 2\theta =9y^2+ z^2 -8$
$②、③を代入して$
$\big(8-6 \times \cfrac{1}{4-x} \times \cfrac{3}{4-x}\big) \times \cfrac{10-x^2}{6}=9\big(\cfrac{1}{4-x}\big)^2+ \big(\cfrac{3}{4-x}\big)^2-8$
$\cfrac{1}{3}\big(4- \cfrac{9}{(4-x)^2}\big) (10-x^2)=\cfrac{18}{(4-x)^2} -8$
$\{4(4-x)^2 - 9\}(10-x^2)=54 - 24(4-x)^2 $
$4(4-x)^2\{(10-x^2)+6\}-9(10-x^2)-54=0$
$4(4-x)^2(16-x^2)-9(10-x^2)-54=0$
$4(4-x)^2(16-x^2)-9\{(10-x^2)+6\}=0$
$4(4-x)^2(16-x^2)-9(16-x^2)=0$
$(16-x^2)\{4(4-x)^2 -9\}=0$
$(16-x^2)\{2(4-x)+3\}\{2(4-x)-3\}=0$
$(4+x)(4-x)(11-2x)(5-2x)=0$
$\triangle OMB \ \ の形状条件より \quad 2 < x < 4 \quad だから \quad x=\cfrac{5}{2}$
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