同志社大学(理系) 2023年　問題Ⅳ


$n\ を自然数とし、x\ を正の実数、t\ を実数とする。このとき、次式で定まる \ x\ の関数 \ f_n(x)\ と$
$t\ の関数 \ g(t)\ について、次の問いに答えよ。$
$\quad f_n(x)=\cfrac{1}{x}\sin \big(\cfrac{\pi}{(2n+1)^2}x^2\big),\quad g(t)=(1-2t^2)\sin t -t\cos t$
$ただし、必要ならば、3 < \pi < 4 \ \ であることを証明なしで用いてよい。$
$(1)\ \ 関数 \ g(t)\ を \ t\ で微分して、導関数 \ g'(t)\ を求めよ。$
$(2)\ \ (1)の \ g'(t)\ に対して、t\ の方程式 \ g'(t)=0 \ を考える。0 < t < \cfrac{5}{2}\pi \ \ の範囲において、この方程式の$
$\quad 実数解の個数を求めよ。$
$(3)\ \ t\ の方程式 \ g(t)=0\ \ を考える。0 < t < \cfrac{5}{2}\pi \ \ の範囲において、この方程式の実数解の個数を求めよ。$
$(4)\ \ t=\cfrac{\pi}{(2n+1)^2} x^2 \ \ とおいたとき、x^3\cfrac{d^2}{dx^2}f_n(x)\ \ を \ g(t)\ を用いて表せ。$
$(5)\ \ 曲線 \ y=f_n(x)\ の変曲点が \ \ 0 < x < 5\ \ の範囲にただ \ 1\ つ存在するような自然数 \ n\ の値をすべて求めよ。$



(1)


$g(t)=(1-2t^2)\sin t -t\cos t \quad より$
\begin{eqnarray*} g'(t) &=&-4t\sin t +(1-2t^2)\cos t -(\cos t -t\sin t)\\ \\ &=&-3t\sin t -2t^2\cos t \\ \\ &=&-t(3\sin t +2t\cos t) \\ \end{eqnarray*}

(2)


$(1)より \quad g'(t)=-t(3\sin t +2t\cos t) \quad だから$

$g'(t)=0 \ \ (0 < t < \cfrac{5}{2}\pi)\ \ の実数解の個数は \quad h(t)=3\sin t +2t\cos t=0 \quad の実数解の個数に一致する。$

$\cos t=0 \ \ とすると \ \ t=\cfrac{\pi}{2},\cfrac{3}{2}\pi \ \ であるが、このとき \ \ \sin t =\pm 1 \ \ だから \ \ h(t) \ne 0$

$\cos t \ne 0 \ \ だから \ \ 　h(t)=3\cos t(\cfrac{\sin t}{\cos t}+\cfrac{2}{3}t)=3\cos t(\tan t+\cfrac{2}{3}t)$

　
$よって \quad \tan t+\cfrac{2}{3}t=0 \ \ の実数解の個数を調べればよい。$

$\tan t=-\cfrac{2}{3}t \quad より \quad y=\tan t \ \ と \ \ y=-\cfrac{2}{3}t \ \ のグラフは$

$右図のとおりで、交点は \quad 0 < t < \cfrac{5}{2}\pi \ \ の範囲で$

$2\ 個であるから、g'(t)=0 \ \ の実数解の個数は \ 2\ 個$


(3)


$(2)より \quad g'(t)=-t(3\sin t +2t\cos t) =-3t\cos t(\tan t+\cfrac{2}{3}t) \quad だから$

$g'(t)=0 \ \ の実数解を \ \alpha ,\ \beta \ \ (\alpha < \beta ) \ \ とおくと、(2)のグラフより$

(i)$\ \ 0 < t < \cfrac{\pi}{2} \ \ では \ \ \tan t > -\cfrac{2}{3}t ,\quad \cos t > 0 \ \ だから \ \ 　g'(t) < 0$
(ii)$\ \ \cfrac{\pi}{2} < t < \alpha \ \ では \ \ \tan t < -\cfrac{2}{3}t ,\quad \cos t < 0 \ \ だから \ \ 　g'(t) < 0$
(iii)$\ \ \alpha < t < \cfrac{3}{2}\pi \ \ では \ \ \tan t > -\cfrac{2}{3}t ,\quad \cos t < 0 \ \ だから \ \ 　g'(t) > 0$
(iv)$\ \ \cfrac{3}{2}\pi < t < \beta \ \ では \ \ \tan t < -\cfrac{2}{3}t ,\quad \cos t > 0 \ \ だから \ \ 　g'(t) > 0$
(v)$\ \ \beta < t < \cfrac{5}{2}\pi \ \ では \ \ \tan t > -\cfrac{2}{3}t ,\quad \cos t > 0 \ \ だから \ \ 　g'(t) < 0$

$\quad g(0)=0,\quad g(\pi)=\pi >0, \quad g(\cfrac{3}{2}\pi)=(1-2(\cfrac{3}{2}\pi)^2)(-1)=-1+\cfrac{9}{2}\pi ^2 >0 ,\quad g(2\pi)=-2\pi < 0 $

$増減表は$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t & 0 & \cdots & \dfrac{\pi}{2} & \cdots & \alpha & \cdots & \pi & \cdots & \dfrac{3\pi}{2} & \cdots & \beta & \cdots & 2\pi & \cdots & \dfrac{5\pi}{2}\\ \hline g'(t) & & - & 0 & - & 0 & + & + & + & 0 & + & 0 & - & - & - \\ \hline g(t) & 0 & \searrow & & \searrow & 極小 & \nearrow & + & \nearrow & + & \nearrow & 極大 & \searrow & - & \searrow & \\ \end{array} \]
$g(t)\ は連続関数だから、中間値の定理より$

$\alpha < t < \pi \ \ で単調増加で、g(\alpha) < 0,\ \ g(\pi) > 0 \ \ だからこの区間に \ \ g(\gamma)=0\ \ となる \ \gamma \ がただ \ 1\ つ存在する。$

$\beta < t < 2\pi \ \ で単調減少で、g(\beta) > 0,\ \ g(2\pi) < 0 \ \ だからこの区間に \ \ g(\delta)=0\ \ となる \ \delta \ がただ \ 1\ つ存在する。$

$これ以外にt軸を切る点はない。$

　

$よって、g(t)=0 \ \ の実数解の個数は \ 2\ 個である。$

$なお、参考までに \ y=g(t)\ のグラフは右図のとおりである。$


(4)


$\cfrac{\pi}{(2n+1)^2}=a \quad とおくと \quad f_n(x)=\cfrac{1}{x}\sin ax^2$

$f_n'(x)=-\cfrac{1}{x^2}\sin ax^2 + \cfrac{1}{x} \cdot 2ax \cos ax^2=-\cfrac{1}{x^2}\sin ax^2 + 2a \cos ax^2$

$f_n''(x)=\cfrac{2}{x^3}\sin ax^2 - \cfrac{1}{x^2} \cdot 2ax \cos ax^2 -4a^2x\sin ax^2 =\cfrac{2}{x^3}\sin ax^2 - \cfrac{2a}{x} \cos ax^2 -4a^2x\sin ax^2 $

\begin{eqnarray*} x^3f_n''(x) &=&2\sin ax^2 - 2ax^2 \cos ax^2 -4a^2x^4\sin ax^2 \\ \\ &=&2(1-2a^2x^4)\sin ax^2 - 2ax^2 \cos ax^2 \hspace{3em} (x^2=\cfrac{(2n+1)^2}{\pi}t=\cfrac{t}{a} \quad だから)\\ \\ &=&2(1-2a^2 \times \cfrac{t^2}{a^2})\sin t - 2a \times \cfrac{t}{a}\cos t \\ \\ &=&2(1-2t^2)\sin t - 2t\cos t \\ \\ &=&2g(t) \end{eqnarray*}

(5)


$(4)より \quad x^3f_n''(x)=2g(t) \ \ (t=\cfrac{\pi}{(2n+1)^2}x^2) \quad だから \ \ x >0\ \ では \ \ f_n''(x)\ の符号の変化と \ g(t)\ の符号の$

$変化は一致する。g(t)\ の符号の変化は(3)より$

(i)$\ \ \alpha < t < \pi \ \ で \ g(t)\ は単調増加で、g(\alpha) < 0,\ \ g(\gamma)=0,\ \ g(\pi) > 0 \ \ だから$

$\quad f''(\alpha) < 0,\ \ f''(\gamma)=0,\ \ f''(\pi) > 0 \quad よって \quad t=\gamma \ \ は \ y=f_n(x)\ の変曲点である。$

(ii)$\ \ \beta < t < 2\pi \ \ で \ g(t)\ は単調減少で、g(\beta) > 0,\ \ g(\delta)=0 ,\ \ g(2\pi) < 0 \ \ だから$

$\quad f''(\beta) > 0,\ \ f''(\delta)=0 ,\ \ f''(2\pi) < 0 \quad よって \quad t=\delta \ \ は \ y=f_n(x)\ の変曲点であるが、これを含んではいけない。$

$0 < x < 5 ,\quad t= \cfrac{\pi}{(2n+1)^2} x^2 \quad より \quad 0 < t < \cfrac{25\pi}{(2n+1)^2} \quad だから$

$f_n(x)\ の変曲点が \ \ 0 < x < 5\ \ の範囲にただ \ 1\ つ存在するような(必要)条件は$

$\quad \pi \leqq \cfrac{25\pi}{(2n+1)^2 }$

$(2n+1)^2 \leqq 25 \quad より \quad 2n+1 \leqq 5 \qquad \therefore \ \ n \leqq 2$

$そこで、n=1,\ 2 \ について条件をみたすかどうか調べる。(十分条件)$

(i)$\ \ n=1のとき \ \ $

$\quad 0 < t < \cfrac{25\pi}{9} \ \ で \ \ 2\pi < \cfrac{25\pi}{9}\quad だから \quad t=\delta \ \ を含むことになり、変曲点が \ 2\ 個となるから不適。$

(ii)$\ \ n=2 \ \ のとき$

$\quad 0 < t < \pi \ \ だから \ \ t=\gamma \ \ を含み、t=\delta \ \ を含まないから変曲点は \ 1\ 個である。$

$以上より \ \ y=f_n(x)\ の変曲点が \ \ 0 < x < 5\ \ の範囲にただ \ 1\ つ存在するような自然数 \ n\ の値は \ n=2\ のみである。$


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