同志社大学(理系) 2023年 問題Ⅲ
$点 \ O\ を原点とする \ xyz\ 空間内に、O\ を中心とする半径 \ 1\ の球面 \ S\ と点 \ A(-1,\ 0,\ 2)\ がある。直線が球面 \ S\ と$
$ただ \ 1\ つの共有点をもつとき、直線は球面 \ S\ に接するという。x,\ y,\ z\ がともに整数であるとき、$
$点(x,\ y,\ z)\ を格子点とよぶ。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ xy\ 平面上の点 \ P(u,\ v,\ 0)\ を考え、実数 \ t\ と直線 \ AP\ 上の点 \ M\ に対して、\vec{AM}=t\vec{AP}\ \ とする。$
$\quad このとき、\vec{OM}\ を \ u,\ v,\ t\ を用いて表せ。また、直線 \ AP\ が球面 \ S\ に接するように点 \ P\ が \ xy\ 平面上を$
$\quad 動くとき、xy\ 平面における点 \ P\ の軌跡 \ H\ の方程式を \ u,\ v\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ 点 \ A\ と異なる点 \ B、および \ xy\ 平面上の点 \ Q\ を考える。直線 \ BQ\ が球面 \ S\ に接するように点 \ Q\ が$
$\quad xy\ 平面上を動くとき、点 \ Q\ の軌跡が(1)の軌跡 \ H\ と一致するような点 \ B\ を \ 1\ つ求めよ。$
$(3)\ \ (1)の軌跡 \ H\ 上の格子点をすべて求めよ。$
$(4)\ \ 点 \ A\ を \ 1\ つの頂点とする四面体 \ ACDE\ が次の条件$ (i)～(iii)$ を同時に満たしている。$
$\quad このとき、頂点 \ C,\ D,\ E\ の組を \ 1\ つ求めよ。$
$\quad $(i)$\ \ 頂点 \ C,\ D,\ E\ はすべて格子点である。$
$\quad $(ii)$\ \ どの \ 2\ つの頂点を結ぶ直線も球面 \ S\ と接する。$
$\quad $(iii)$\ \ すべての辺の長さは整数である。$
(1)
$\vec{AM}=t\vec{AP}\ \ より \quad \vec{OM}-\vec{OA}=t(\vec{OP}-\vec{OA})$
\begin{eqnarray*} \vec{OM} &=&\vec{OA}+t(\vec{OP}-\vec{OA})\\ \\ &=&(-1,\ 0,\ 2)+ t(u+1,\ v,\ -2)\\ \\ &=&(-1+t(u+1),\ tv,\ 2-2t) \end{eqnarray*}
$点\ M\ を接点と考えると、M\ は球面 \ S\ 上の点だから$
$|\vec{OM}|=1$
$(-1+t(u+1))^2+(tv)^2+(2-2t)^2=1$
$\{(u+1)^2+v^2+4\}t^2-2\{(u+1)+4\}t+4=0$
$(u^2+2u+v^2+5)t^2-2(u+5)t+4=0$
$接点 \ M\ に対して \ 1\ つの実数 \ t\ が定まり、xy\ 平面上の点 \ P\ が \ 1\ つ定まるから、$
$この式を \ t\ の \ 2\ 次方程式とみると接する条件は、重解をもつことである。$
$\quad \cfrac{D}{4}=(u+5)^2-4(u^2+2u+v^2+5)=0$
$\quad 3u^2-2u+4v^2-5=0$
$これが、点 \ P\ の軌跡Hの方程式である。$
(2)
$球面 \ S\ は全方向対称であるから、点 \ A(-1,\ 0,\ 2)\ の$
$xy\ 平面に関する対称点を \ B\ とすると \quad B(-1,\ 0,\ -2)$
$Q(u^*,\ v^*,\ 0)\ \ をとって \quad \vec{BM}=t\vec{BQ}\ \ とすると$
\begin{eqnarray*} \vec{OM} &=&\vec{OB}+\vec{BM}\\ \\ &=&\vec{OB}+t\vec{BQ}\\ \\ &=&(-1,\ 0,\ -2)+t(u^*+1,\ v^*,\ 2)\\ \\ &=&(-1+t(u^*+1),\ tv^*,\ -2+2t) \end{eqnarray*} $点 \ M\ を接点と考えると、M\ は球面 \ S\ 上の点だから$
$|\vec{OM}|=1$
$(-1+t(u^*+1))^2+(tv^*)^2+(-2+2t)^2=1$
$\{(u^*+1)^2+(v^*)^2+4\}t^2-2\{(u^*+1)+4\}t+4=0$
$((u^*)^2+2u^*+(v^*)^2+5)t^2-2(u^*+5)t+4=0$
$したがって \quad Q(u~*,\ v^*,\ 0)\ は \ P(u,\ v,\ 0) の軌跡 \ H\ 上の点であるから、点 \ Q\ の軌跡は\ H\ と一致する。$
$よって、点 \ A(-1,\ 0,\ 2)\ の \ xy\ 平面に関する対称点を \ B(-1,\ 0,\ -2)\ にとればよい。$
(3)
$(1)より点 \ P\ の軌跡 \ H\ の方程式は$
$\quad 3u^2-2u+4v^2-5=0$
$\quad 3(u-\cfrac{1}{3})^2+4v^2=\cfrac{16}{3}$
$軌跡 \ H\ は楕円で、グラフは右図のとおりである。$
$u\ 軸との交点は \quad 3u^2-2u-5=0 \quad より \quad (u+1)(3u-5)=0,\quad u=-1,\ \ \cfrac{5}{3}$
$楕円内のu\ 軸上で整数となる点は\ \ U=-1,\ 0,\ 1\ \ である。このとき \ v\ の値はそれぞれ \ \ v=0,\ \ \pm \cfrac{\sqrt{5}}{2},\ \ \pm 1\quad だから$
$H\ 上の格子点は、R(1,\ 1,\ 0),\ \ T(1,\ -1,\ 0),\ \ U(-1,\ 0,\ 0)\ \ の \ 3\ 点である。$
(4)
(i)$\ \ 頂点 \ C,\ D,\ E\ について$
$\quad (3)より \ H\ 上の格子点は、R(1,\ 1,\ 0),\ T(1,\ -1,\ 0),\ U(-1,\ 0,\ 0)\ の$
$\quad 3\ 点であるが、U(-1,\ 0,\ 0)\ は球面 \ S\ 上の点であるから候補にならない。$
$\quad あらためて 点 \ R,\ T,\ B\ を \ C(1,\ 1,\ 0),\ D(1,\ -1,\ 0),\ E(-1,\ 0,\ -2)\ とすると$
$\quad 頂点 \ C,\ D,\ E\ はすべて格子点である。$
(ii)$\ \ 2\ つの頂点を結ぶ直線と球面の交点について$
$\quad 点C(1,\ 1,\ 0)\ と点D(1,\ -1,\ 0)\ について、(1)より 直線 \ AC,\ AD\ は球面 \ S\ と接し、$
$\quad 点B(-1,\ 0,\ -2)\ については、直線 \ BC,\ BD\ は球面 \ S\ と接するから直線 \ EC,\ ED\ は球面 \ S\ と接する。$
$直線 \ AE\ について$
$\quad \vec{AE}=(0,\ 0,\ -4)\ だから直線 \ AE\ は \quad x=-1,\ y=0,\ z=2-4k\ \ とおけて$
$\quad 球面 \ S\ との交点は \quad (-1)^2+0^2+(2-4k)^2=1 \quad より、重解 \ \ k=\cfrac{1}{2}\ \ をもつから 球面 \ S\ と接する。$
$直線 \ CD\ について$
$\quad \vec{CD}=(0,\ -2,\ 0)\ だから直線 \ CD\ は x=1,\ y=1-2l,\ z=0\ \ とおけて$
$\quad 球面 \ S\ との交点は \quad 1^2+(1-2l)^2+0^2=1 \quad より、重解 \ \ l=\cfrac{1}{2}\ \ をもつから 球面 \ S\ と接する。$
$これでどの \ 2\ つの頂点を結ぶ直線も球面 \ S\ と接することがわかった。$
(iii)$ \ \ すべての辺の長さについて$
$\quad AC^2=(1+1)^2+(1-0)^2+(0-2)^2=9 \hspace{4em} AC=3$
$\quad AD^2=(1+1)^2+(-1-0)^2+(0-2)^2=9 \hspace{3em} \ AD=3$
$\quad AE^2=(-1+1)^2+(0-0)^2+(-2-2)^2=16 \hspace{2em} \ AE=4$
$\quad CD^2=(1-1)^2+(-1-1)^2+(0-0)^2=4 \hspace{3em} \ \ CD=2$
$\quad CE^2=(-1-1)^2+(0-1)^2+(-2-0)^2=9 \hspace{3em} CE=3$
$\quad DE^2=(-1-1)^2+(0+1)^2+(-2-0)^2=9 \hspace{3em} DE=3$
$これですべての辺の長さは整数であることがわかった。$
$以上で、C(1,\ 1,\ 0),\ D(1,\ -1,\ 0),\ E(-1,\ 0,\ -2)\ は条件$(i)～(iii)$を同時に満たす点の組である。$
メインメニュー に戻る