同志社大学(理系) 2023年 問題Ⅱ
$xy\ 平面上の曲線 \ C:y=x^2\ と直線 \ l:y=f(x)\ が、\alpha < \beta \ として異なる \ 2点 \ (\alpha ,\ \alpha ^2),\ (\beta , \ \beta ^2)\ で交わっている。$
$次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ f(x)=ax+b \ \ とする。a, \ b\ のそれぞれを \ \alpha \ と \ \beta \ の式で表せ。$
$(2)\ \ 曲線 \ C\ と直線 \ l\ で囲まれた図形 \ D\ の面積は \ 36\ である。このとき、\beta -\alpha \ \ の値を求めよ。$
$(3)\ \ (2)の図形 \ D\ を \ x\ 軸の周りに \ 1\ 回転させてできる立体の体積を \ V\ とする。実数 \ c\ を \ \ c=\cfrac{\alpha +\beta }{2}\ \ とする$
$\quad とき、V\ を \ \alpha , \ \beta \ を含まない \ c\ の式で表せ。\alpha \ が実数全体を動くとき、V\ の最小値とそのときの \ \alpha,\ \beta \ の$
$\quad 値を求めよ。$
(1)
$曲線 \ C\ と直線 \ l\ の交点は$
$\quad x^2=ax+b \qquad \therefore \ \ x^2-ax-b=0$
$この解が \ \alpha,\ \beta \ \ だから解と係数の関係より$
$\quad \alpha +\beta =a,\qquad \alpha \beta =-b$
$よって \quad a=\alpha +\beta ,\quad b=-\alpha \beta$
(2)
$図形 \ D\ の面積 \ S\ は$
\begin{eqnarray*} S &=&\int_{\alpha}^{\beta}(ax+b-x^2)dx\\ \\ &=&-\int_{\alpha}^{\beta}(x^2-ax-b)dx\\ \\ &=&-\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx\\ \\ &=&-\big[\cfrac{(x-\alpha)^2}{2}(x-\beta)\big]_{\alpha}^{\beta} + \int_{\alpha}^{\beta}\cfrac{(x-\alpha)^2}{2}dx\\ \\ &=&\int_{\alpha}^{\beta}\cfrac{(x-\alpha)^2}{2}dx\\ \\ &=&\big[\cfrac{(x-\alpha)^3}{6}\big]_{\alpha}^{\beta}\\ \\ &=&\cfrac{(\beta -\alpha)^3}{6} \end{eqnarray*} $S=36 \quad だから \quad \cfrac{(\beta -\alpha)^3}{6}=36 \qquad (\beta -\alpha)^3 =6^3$
$\beta - \alpha > 0 \quad だから \quad \beta - \alpha =6$
(3)
\begin{eqnarray*} V &=&\pi \int_{\alpha}^{\beta}(ax+b)^2dz - \pi \int_{\alpha}^{\beta}x^4dz\\ \\ &=&\pi \int_{\alpha}^{\beta}\{(ax+b)^2-x^4\}dz\\ \\ &=&\pi \int_{\alpha}^{\beta}(a^2x^2+2abx+b^2-x^4)dz\\ \\ &=&\pi \big[\cfrac{a^2}{3}x^3+abx^2+b^2x-\cfrac{1}{5}x^5\big]_{\alpha}^{\beta} \\ \\ &=&\pi \big\{\cfrac{a^2}{3}(\beta ^3 - \alpha ^3) +ab(\beta ^2 - \alpha ^2) +b^2(\beta - \alpha) -\cfrac{1}{5}(\beta ^5 -\alpha ^5)\big\}\\ \\ \end{eqnarray*} $ここで、(1)より \quad \alpha +\beta=a$
$\alpha ,\ \beta \ \ は \ \ x^2=ax+b \ \ の解だから \quad \alpha ^2=a\alpha +b$
$\alpha \ne 0 \ \ だから \ \alpha ^n \ \ をかけて \quad \alpha ^{n+2}=a\alpha ^{n+1} +b\alpha ^n$
$同様にして \quad \beta ^{n+2}=a\beta ^{n+1}+b\beta ^n$
$辺々の差をとって \quad \beta ^{n+2} -\alpha ^{n+2}=a(\beta ^{n+1} -\alpha ^{n+1}) +b(\beta^n -\alpha ^n)$
$t_n=\beta ^n -\alpha ^n \quad とおくと$
$\quad t_{n+2}=at_{n+1}+bt_n \quad ただし \quad t_1=\beta -\alpha =6,\quad t_2=\beta ^2 -\alpha ^2=(\beta -\alpha)(\beta +\alpha)=6a$
$n=-1,\ 2,\ 3\ と順次この漸化式に代入して$
$\quad t_3=at_2+bt_1=6a^2+6b=6(a^2+b)$
$\quad t_4=at_3+bt_2=6a(a^2+b)+6ab=6a(a^2+2b)$
$\quad t_5=at_4+bt_3=6a^2(a^2+2b)+6b(a^2+b)=6(a^4+3a^2b+b^2)$
$したがって$
\begin{eqnarray*} V &=&\pi \big\{\cfrac{a^2}{3}(\beta ^3 - \alpha ^3) +ab(\beta ^2 - \alpha ^2) +b^2(\beta - \alpha) -\cfrac{1}{5}(\beta ^5 -\alpha ^5)\big\}\\ \\ &=&\pi \big(\cfrac{a^2}{3}t_3 + abt_2 +b^2t_1 -\cfrac{1}{5}t_5\big)\\ \\ &=&\pi \big\{\cfrac{a^2}{3} \times 6(a^2+b)+ab \times 6a + 6b^2 -\cfrac{6}{5}(a^4+3a^2b+b^2)\big\}\\ \\ &=&\cfrac{2\pi}{5}(2a^4+11a^2b+12b^2)\\ \\ &=&\cfrac{2\pi}{5}(a^2+4b)(2a^2+3b)\\ \end{eqnarray*} $ここで、c=\cfrac{\alpha + \beta}{2}=\cfrac{a}{2} \quad より \quad a=2c$
$\alpha +\beta=a,\quad \beta -\alpha =6 \quad より \quad \alpha=\cfrac{a-6}{2},\quad \beta=\cfrac{a+6}{2}$
$b=-\alpha \beta \quad に代入して \quad b=-\cfrac{a-6}{2} \times \cfrac{a+6}{2}=-\cfrac{a^2-36}{4}=-\cfrac{4c^2-36}{4}=9-c^2$
$これらを \ V\ に代入して$
$V=\cfrac{2\pi}{5}(4c^2+4(9-c^2))(8c^2+3(9-c^2))=\cfrac{72}{5}\pi(5c^2+27)$
$\alpha \ が実数全体を動くとき、c\ も実数全体を動くから$
$V\ は \ c=0\ のとき最小となり、最小値は \quad V=\cfrac{72}{5}\pi \times 27=\cfrac{1944}{5}\pi$
$このとき \quad a=0 \quad だから \quad \alpha =\cfrac{a-6}{2}=-3,\quad \beta=\cfrac{a+6}{2}=3$
$なお、b=9 \quad だから \quad l:f(x)=9 \quad である。$
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