同志社大学(理系) 2022年 問題2
$条件(*)\ t^2 \ne 5 \ \ を満たす実数 \ t\ に対して、f(t)=\cfrac{t^2-4t+5}{t^2-5} ,\ \ g(t)=\cfrac{-2t^2+10t-10}{t^2-5} \ \ とする。$
$次の問いに答えよ。$
$\quad (1)\ \ 条件(*)\ を満たすすべての \ t\ に対して、点 \ (f(t),\ g(t))\ が双曲線 \ H:\ \alpha x^2 - \beta y^2=1 \ \ 上にあるとき、$
$\qquad 定数 \ \alpha ,\ \beta \ の値を求めよ。$
$\quad (2)\ \ 条件(*)\ を満たすすべての \ t\ に対して、2つの等式 \ \ f(-t)=af(t)+bg(t),\quad -g(-t)=cf(t)+dg(t)$
$\qquad が同時に成り立つとき、定数 \ a,\ b,\ c,\ d\ の値を求めよ。$
$\quad (3)\ \ (2)の定数 \ a,\ b,\ c,\ d\ を用いて、p',\ q'\ を \ 2\ つの式\ \ p'=ap+bq,\quad q'=cp+dq \ \ で定める。$
$\qquad p=1,\ \ q=2\ のとき、p',\ q'\ の値を求めよ。$
$\quad (4)\ \ (1)の双曲線 \ H\ 上にある任意の点 \ (p,\ q)\ に対して、(3)の \ 2\ つの式で定まる点 \ (p',\ q')\ も \ H\ 上にある$
$\qquad ことを示せ。$
$\quad (5)\ \ r_1=1,\ \ r_{n+1}=9r_n+4\sqrt{5r_n^2-1} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \ で定められる数列 \ \{r_n\}\ の各項が正の整数で$
$\qquad あることを示せ。$
$(解説)$
$(1)\ \ ある \ 2\ つの \ t\ の値から \ \alpha,\ \beta \ を求め、これが十分条件となることを示す方法が楽です。$
$(2)\ \ 2つの\ t\ についての恒等式を導き、係数を比較することで未定係数を決定します。$
$(3)\ \ 難しく考えずに、ただ計算します。$
$(4)\ \ 5p^2-q^2=-1 \ \ をつかって \ \ 5p'^2-q'^2=1 \ \ を導きます。$
$(5)\ \ \{r_n\}\ の漸化式の係数をみれば、これが(3)の \ p'\ の係数に一致することがわかります。$
(1)
(i)$\ \ 必要条件$
$\quad f(0)=-1,\quad g(0)=2 ,\quad f(1)=-\cfrac{1}{2},\quad g(1)=\cfrac{1}{2}$
$\quad 点 \ (f(0),\ g(0)),\quad 点 \ (f(1),\ g(1))\ はともに \ H\ 上にあるから$
$\qquad (-1)^2\alpha -2^2\beta =1 \qquad \alpha - 4\beta =1$
$\qquad (-\cfrac{1}{2})^2\alpha - (\cfrac{1}{2})^2\beta =1 \qquad \alpha - \beta =4$
$\quad これを解いて \quad \alpha=5,\quad \beta=1$
(ii)$\ \ 十分条件$
$\quad \alpha=5,\quad \beta=1 \quad のとき \quad H:\ 5x^2-y^2=1$
\begin{eqnarray*} & &5\big(\cfrac{t^2-4t+5}{t^2-5}\big)^2 - \big(\cfrac{-2t^2+10t-10}{t^2-5}\big)^2\\ \\ &=&5\big(1+\cfrac{-4t+10}{t^2-5}\big)^2 - \big(-2+\cfrac{10t-20}{t^2-5}\big)^2\\ \\ &=&5\big(1+\cfrac{-4(2t-5)}{t^2-5}+\cfrac{4(2t-5)^2}{(t^2-5)^2}\big) - \big(4 -\cfrac{40(t-2)}{t^2-5}+ \cfrac{100(t-2)^2}{(t^2-5)^2}\big)\\ \\ &=&1+\cfrac{-20(2t-5)+40(t-2)}{t^2-5}+\cfrac{20(2t-5)^2-100(t-2)^2}{(t^2-5)^2}\\ \\ &=&1+\cfrac{20}{t^2-5}+\cfrac{-20t^2+100}{(t^2-5)^2}\\ \\ &=&1+\cfrac{20}{t^2-5}+\cfrac{-20}{t^2-5}\\ \\ &=&1 \end{eqnarray*}
$\quad よって確かに点 \ (f(t),\ g(t))\ は双曲線 \ H:\ 5x^2 - y^2=1 \ \ 上にある。$
(2)
(i)$\ \ f(-t)=af(t)+bg(t) \quad より$
$\quad \cfrac{t^2+4t+5}{t^2-5}=\cfrac{a(t^2-4t+5)}{t^2-5}+\cfrac{b(-2t^2+10t-10)}{t^2-5}$
$\quad t^2+4t+5=a(t^2-4t+5) + b(-2t^2+10t-10)$
$\quad t^2+4t+5=(a-2b)t^2+2(-2a+5b)t+5a-10b$
$\quad これがすべての実数 \ t\ について成り立つから \ t\ についての恒等式である。したがって$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} a-2b=1 \hspace{6em}(1)\\ -2a+5b=2 \hspace{5em}(2)\\ 5a-10b=5 \hspace{5em}\ (3)\\ \end{array} \right. \]
$\quad (1)と(3)は同じ式だから(1),(2)を解いて \quad a=9,\quad b=4$
(ii)$\ \ -g(-t)=cf(t)+dg(t) \quad より$
$\quad -\cfrac{-2t^2-10t-10}{t^2-5}=\cfrac{c(t^2-4t+5)}{t^2-5}+\cfrac{d(-2t^2+10t-10)}{t^2-5}$
$\quad 2t^2+10t+10=c(t^2-4t+5) + d(-2t^2+10t-10)$
$\quad 2t^2+10t+10=(c-2d)t^2+2(-2c+5d)t+5c-10d$
$\quad これも\ t\ についての恒等式だから$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} c-2d=2 \hspace{6em}(4)\\ -2c+5d=5 \hspace{5em}(5)\\ 5c-10d=10 \hspace{5em}(6)\\ \end{array} \right. \]
$\quad (4)と(6)は同じ式だから(4),(5)を解いて \quad c=20,\quad d=9$
(3)
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} p'=9p+4q\\ q'=20p+9q\\ \end{array} \right. \] $\hspace{4em} に、p=1,\ \ q=2 \quad を代入して \quad p'=17,\quad q'=38$
(4)
$\quad 点 \ (p,\ q)\ \ は双曲線 \ H\ 上にあるから \quad 5p^2-q^2=1$
$\quad このとき$
\begin{eqnarray*} & &5p'^2-q'^2\\ &=&5(9p+4q)^2-(20p+9q)^2\\ &=&5(81p^2+72pq+16q^2)-(400p^2+360pq+81q^2)\\ &=&5p^2-q^2\\ &=&1 \end{eqnarray*} $\quad よって 点 \ (p',\ q')\ も \ H\ 上にある$
(5)
$\quad まず、数列 \ \{r_n\}\ の各項が正であることを数学的帰納法で示す。$
$\quad $ (i)$\ \ n=1 \quad のとき \quad r_1=1 \quad だから正の数である。$
$\quad $ (ii)$\ \ n=k \quad のとき \quad r_k >0 \quad とすると \quad r_{k+1}=9r_k+4\sqrt{5r_k^2-1} > 0 $
$\qquad よって \quad n=k+1 \quad のときも正の数となる。$
(i),(ii)$よりすべての自然数 \ n\ について \ r_n\ は正の数である。$
$次に$
$\quad p_n=r_n,\quad q_n=\sqrt{5r_n^2-1}=\sqrt{5p_n^2-1} \quad とおくと \quad q_n^2=5p_n^2-1$
$\quad r_{n+1}=9r_n+4\sqrt{5r_n^2-1} \quad より \qquad p_{n+1}=9p_n+4q_n \hspace{7em} ①$
\begin{eqnarray*} q_{n+1}^2 &=&5p_{n+1}^2-1\\ &=&5(9p_n+4q_n)^2-1\\ &=&5(81p_n^2+72p_nq_n+16q_n^2)-1\\ &=&(20p_n+9q_n)^2+5p_n^2-q_n^2-1\\ &=&(20p_n+9q_n)^2\\ \end{eqnarray*} $\qquad q_{n+1} > 0,\quad 20p_n+9q_n > 0 \quad だから \quad q_{n+1}=20p_n+9q_n \hspace{5em} ②$
$p_n,\ q_n \ は正の整数であることを数学的帰納法で示す。$
(i)$\ \ n=1 \quad のとき$
$\quad r_1=1 \quad より \quad p_1=1 \qquad q_1=\sqrt{5r_1^2-1}=2 \quad よって \quad p_1,\ \ q_1 \ \ はともに正の整数$
(ii)$\ \ n=k \quad のとき $
$\quad p_k,\ \ q_k \quad はともに正の整数とする。正の整数の集合は、加法、乗法で閉じているので①、②より$
$\quad p_{k+1},\ \ q_{k+1}\ \ はともに正の整数$
(i),(ii)$\ \ よりすべての自然数 \ n\ について \ \ p_n,\ q_n \ はともに正の整数$
$したがって、r_n=p_n \quad だから \quad \{r_n\}の各項は正の整数である。$
$(補充)$
$①、②は(3)のp',q'と同じ式です。$
$点\ (p_1,\ q_1)=(1,2)\ は放物線 \ H\ 上の点であり、(4)より、点 \ (p_n,\ q_n)\ が \ H\ 上の点であれば、$
$(p_{n+1},\ q_{n+1})\ も \ H\ 上の点であることがいえます。$
$したがって、双曲線 \ H\ 上の格子点 \ (x座標、y座標がともに整数)\ は無数あることがわかります。$
メインメニュー に戻る