行列式


6　性質(2)


$次の \ 2\ つの行列式を比べてください。ただし \ \ i \ne j \ \ です。$

\[ |A|= \left| \begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\ \ \\ \end{array} \right| \hspace{5em} |C|= \left| \begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \ \ \\ \vdots & & & \vdots \ \ \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\ \ \\ \end{array} \right|\\ \\ \]
$|C|\ は \ |A|\ の第 \ i\ 行を第 \ j\ 行で置き換えたものです。$

$|A|\ と \ |C|\ の第 \ i\ 行による展開はそれぞれ$

$\qquad |A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+ \cdots + a_{in}A_{in}$

$\qquad |C|=a_{j1}A_{i1}+a_{j2}A_{i2}+ \cdots + a_{jn}A_{in}$

$となります。$

$ところが、|C|\ は第 \ i\ 行と第 \ j\ 行が一致しますので \ \ |C|=0 \ \ となります。$

$定理 $
$\hspace{4em} a_{j1}A_{i1}+a_{j2}A_{i2}+ \cdots + a_{jn}A_{in}=0 \ \ (i \ne j)$

$同様に、列の場合は$

$\hspace{4em} a_{1j}A_{1i}+a_{2j}A_{2i}+ \cdots + a_{nj}A_{ni}=0 \ \ (i \ne j)$


$なお、この性質は行列 \ A\ の逆行列を求めるのにつかわれます。$


　

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