電気通信大学 2025年　問題2


$a > 0 \ とする。関数 \ f(x)=2(x-1)e^x -ax^2+5a \ \ について、以下の問いに答えよ。ただし、eは自然対数の$
$\quad 底とする。$
$(1)\ \ 関数 \ f(x)\ の導関数を \ f'(x)\ とする。方程式 \ \ f'(x)=0\ \ を解け。$
$(2)\ \ 関数 \ f(x)\ が極小値 \ 0\ をもつような \ a\ の値をすべて求めよ。$
\[(3)\ \ 次の不定積分を求めよ。ただし、積分定数は省略してもよい。 \quad I=\int (x-1)e^x dx\] $(4)\ \ a=2 \ とし、曲線 \ y=f(x)\ 上の点(0,\ f(0))\ における接線を \ \ell \ とする。曲線 \ y=f(x)\ と接線 \ \ell \ で$
$\quad 囲まれた領域の面積 \ S\ を求めよ。$


(1)


\begin{eqnarray*} f'(x) &=&2\big(e^x+(x-1)e^x\big)-2ax\\ \\ &=&2xe^x-2ax\\ \\ &=&2x(e^x-a) \end{eqnarray*} $f'(x)=0 \ \ より \quad x=0,\ \ e^x=a$

$よって \ \ f'(x)=0\ \ の解は \quad x=0,\ \ x=\log a$


(2)


$(1)より \ \ f'(x)=0\ \ の解は \quad x=0,\ \ \log a$

$f''(x)=2(e^x-a)+2xe^x=2(x+1)e^x-2a$

(i)$\ \ f''(0)=2-2a > 0 \ \ \ すなわち \quad 0 < a < 1 \ \ のとき \ \ x=0\ で極小となり、極小値$

$\quad f(0)=-2+5a=0 \ \ より \quad a=\dfrac{2}{5}$

(ii)$\ \ f''(\log a)=2(\log a+1)a-2a=2\log a > 0\ \ より \quad a >1\ \ のとき \ \ x=\log a \ \ で極小となり、極小値は$

\begin{eqnarray*} \quad f(\log a) &=&2(\log a -1)a -a(\log a)^2+5a\\ \\ &=&-a\big((\log a)^2-2\log a-3\big)\\ \\ &=&-a(\log a +1)(\log a -3)\\ \end{eqnarray*} $\quad a > 1 \ \ だから \ \ \log a + 1 > 0 \qquad f(\log a)=0 \ \ の解は \ \ \log a=3 \ \ すなわち \ \ a=e^3$

(i),(ii)$\ \ より \ f(x)\ が極小値 \ 0\ をもつような \ a\ の値は \quad \dfrac{2}{5},\ \ e^3$


(3)


\begin{eqnarray*} I &=&\int (x-1)e^x dx\\ \\ &=&(x-1)e^x -\int e^xdx\\ \\ &=&(x-1)e^x -e^x \\ \\ &=&(x-2)e^x \end{eqnarray*}

(4)


$a=2 \ のとき$

$f(x)=2(x-1)e^x-2x^2+10,\qquad f'(x)=2x(e^x-2)$

$f(0)=8,\quad f'(0)=0 \ \ だから \quad \ell : y=8$

$f'(x)=0 \ \ より \quad x=0,\ \ \log 2$

$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x& \cdots & 0 & \cdots & \log 2 & \cdots \\ \hline f'(x)& + & 0 & - & 0 & +\\ \hline f(x)& \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \end{array} \]
$x=0 \ \ のとき極大となり、極大値 \quad f(0)=8$

$x=\log 2 \ \ のとき極小となり、極小値 $

\begin{eqnarray*} f(\log 2) &=&2(\log 2-1)\times 2-2(\log 2)^2+10\\ \\ &=&-2\big((\log 2)^2-2\log 2-3\big)\\ \\ &=&-2(\log 2+1)(\log 2-3)\\ \end{eqnarray*}
$0 < \log 2 < 3 \ \ だから \ \ f(\log 2) > 0$

　

$y=f(x) \ のグラフは右図のとおり$

$x > 0 \ の部分で \ \ y=f(x)\ と \ \ell : y=8 \ の交点の \ x\ 座標は$

$2(x-1)e^x-2x^2+10=8 \ \ の解だから$

$(x-1)e^x-x^2+1=0$

$(x-1)e^x-(x+1)(x-1)=0$

$(x-1)(e^x-(x+1))=0$

$g(x)=e^x-(x+1) \ \ について$

$g'(x)=e^x-1 > 0 \ \ だから \ g(x)\ は単調増加$

$g(x) > g(0)=0 \qquad \therefore \ \ g(x)>0$

$よって交点の \ x\ 座標は \quad x=1$

\begin{eqnarray*} S &=&\int_0^1(8-f(x))dx\\ \\ &=&\int_0^1(8-2(x-1)e^x+2x^2-10)dx\\ \\ &=&-2\int_0^1((x-1)e^x-x^2+1)dx\\ \\ &=&-2\big[(x-2)e^x-\dfrac{x^3}{3}+x\big]_0^1\\ \\ &=&-2\big((-e-\dfrac{1}{3}+1)-(-2)\big)\\ \\ &=&2(e-\dfrac{8}{3}) \end{eqnarray*}

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