電気通信大学 2025年　問題1


$-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}\ で定義された2つの関数 \ f(x)=\tan x +\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x , \ \ g(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x +\dfrac{2}{\sqrt{3}} \sin x \ \ について、$
$以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 不等式 \ \ f(x) \leqq g(x)\ \ をみたす \ x\ の範囲を求めよ。$
$(2)\ \ 曲線 \ y=f(x)\ と \ x\ 軸の共有点の \ x\ 座標を \ \alpha ,\ \ 曲線 \ y=g(x)\ と \ x\ 軸の共有点の \ x\ 座標を \ \beta \ とするとき、$
$\quad \sin \alpha ,\ \ \sin \beta \ \ の値を求めよ。$
$(3)\ \ 関数 \ g(x)\ が \ x=\gamma \ \ で極値をとるとする。\sin \gamma \ の値を求めよ。$
\[(4)\ \ 次の不定積分を求めよ。ただし、積分定数は省略してもよい。 \quad I=\int \tan^2xdx\] $(5)\ \ 不等式 \ \ 0 \leqq x < \dfrac{\pi}{2}\ \ の表す領域において曲線 \ y=f(x)\ と \ y=g(x)\ で囲まれた部分を \ D\ とするとき、$
$\quad D\ を \ x\ 軸のまわりに \ 1\ 回転させてできる立体の体積 \ V\ を求めよ。$


(1)


$g(x)-f(x) \geqq 0 \quad より$

$\big(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x +\dfrac{2}{\sqrt{3}} \sin x \big)-\big(\tan x +\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x \big) \geqq 0$

$\dfrac{2}{\sqrt{3}} \sin x - \tan x \geqq 0$

$-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2} \ \ より \ \ \cos x > 0 \ \ だから両辺に \ \ \sqrt{3}\cos x \ \ をかけて$

$2\sin x \cos x - \sqrt{3}\sin x \geqq 0$

$\sin x (2\cos x - \sqrt{3}) \geqq 0$

(i)$\ \ \sin x \geqq 0 \quad のとき \ \ すなわち \quad 0 \leqq x <\dfrac{\pi}{2} \ \ のとき$

$\quad \cos x \geqq \dfrac{\sqrt{3}}{2}\ \ だから \quad 0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{6}$

(ii)$\ \ \sin x \leqq 0 \quad のとき \ \ すなわち \quad -\dfrac{\pi}{2} < x \leqq 0 \ \ のとき$

$\quad \cos x \leqq \dfrac{\sqrt{3}}{2}\ \ だから \quad -\dfrac{\pi}{2} < x \leqq -\dfrac{\pi}{6}$

(i),(ii)$\ \ より -\dfrac{\pi}{2} < x \leqq -\dfrac{\pi}{6},\quad 0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{6}$


(2)


(i)$\ \ 曲線 \ y=f(x)\ と \ x\ 軸の共有点は$

$\quad f(x)=\tan x +\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x =0 \ \ の解である。$

$\quad -\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}\ \ より \ \ \cos x > 0 \ \ だから両辺に \ \ 2\cos x \ \ をかけて$

$\quad 2\sin x+\sqrt{3}\cos ^2x=0$

$\quad 2\sin x+\sqrt{3}(1-\sin ^2x)=0$

$\quad \sqrt{3}\sin ^2x -2\sin x -\sqrt{3}=0$

$\quad (\sqrt{3}\sin x +1)(\sin x - \sqrt{3})=0$

$\quad -1 \leqq \sin x \leqq 1 \ \ だから \quad \sin x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

$\quad よって \quad \sin \alpha =-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

(ii)$\ \ 曲線 \ y=g(x)\ と \ x\ 軸の共有点は$

$\quad g(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x +\dfrac{2}{\sqrt{3}} \sin x =0 \ \ の解だから$

$\quad \sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cos x \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{3}{4}\cos x$

$\quad \tan x=-\dfrac{3}{4}$

$\quad \tan x < 0 \ \ だから \quad -\dfrac{\pi}{2} < x < 0 \ \ よって \quad \sin x <0$

$\quad \dfrac{1}{\sin ^2x}=1+\dfrac{1}{\tan ^2x}=1+\dfrac{16}{9}=\dfrac{25}{9}$

$\quad \sin ^2x=\dfrac{9}{25} \qquad \sin x=-\dfrac{3}{5}$

$\quad よって \quad \sin \beta =-\dfrac{3}{5}$


(3)


$g(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x +\dfrac{2}{\sqrt{3}} \sin x \ \ より$

$g'(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x +\dfrac{2}{\sqrt{3}} \cos x $

$g(x)\ が \ x=\gamma \ \ で極値をとるならば \quad g'(\gamma)=0 \ \ だから$

$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin \gamma +\dfrac{2}{\sqrt{3}} \cos \gamma=0 $

$\sin \gamma =\dfrac{2}{\sqrt{3}} \cos \gamma \times \dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{4}{3}\cos \gamma$

$\tan \gamma=\dfrac{4}{3}$

$ \tan \gamma > 0 \ \ だから \quad 0 < \gamma < \dfrac{\pi}{2} \qquad \therefore \ \ \sin \gamma >0$

$\dfrac{1}{\sin ^2\gamma}=1+\dfrac{1}{\tan ^2\gamma}=1+\dfrac{9}{16}=\dfrac{25}{16}$

$\sin ^2\gamma =\dfrac{16}{25} \qquad \therefore \ \ \sin \gamma=\dfrac{4}{5}$

$なお、このとき \quad \cos \gamma > 0$

$g''(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x -\dfrac{2}{\sqrt{3}} \sin x \ \ より$

$g''(\gamma)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos \gamma -\dfrac{2}{\sqrt{3}} \sin \gamma < 0$

$よって \ \ 確かに \ g(x)\ は \ x=\gamma \ \ で極大値をとる。$


(4)


\[I=\int \tan ^2xdx=\int\big(\dfrac{1}{\cos ^2x} -1\big)dx=\tan x -x\]

(5)

　

$f'(x)=\dfrac{1}{\cos ^2x}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x =\dfrac{2-\sqrt{3}\sin x\cos ^2x}{2\cos ^2x}$

$0 \leqq x < \dfrac{\pi}{2}\ \ で \quad 0 \leqq \sin x \cos ^2x < 1 \ \ だから \quad f'(x) >0$

$よって \ f(x) \ は単調増加である。$

$(1) より \quad 0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{6}\ \ で \ \ f(x) \leqq g(x) \ \ だから$

$囲まれた部分 \ D\ は右図のとおりである。$

\begin{eqnarray*} V &=&\pi\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{6}}} g(x)^2dx - \pi\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{6}}} f(x)^2dx\\ \\ &=&\pi\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{6}}} \big(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x +\dfrac{2}{\sqrt{3}} \sin x\big)^2dx - \pi\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{6}}} \big(\tan x +\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x\big)^2dx\\ \\ &=&\pi\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{6}}} \big(\dfrac{3}{4}\cos ^2x +\dfrac{4}{3}\sin ^2x +2\sin x \cos x -\tan ^2x -\dfrac{3}{4}\cos ^2x -\sqrt{3}\sin x\big)dx\\ \\ &=&\pi\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{6}}} \big(\dfrac{4}{3}\sin ^2x +2\sin x \cos x -\tan ^2x -\sqrt{3}\sin x\big)dx\\ \\ &=&\pi\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{6}}} \big(\dfrac{4}{3} \times \dfrac{1-\cos 2x}{2} +\sin 2x -\tan ^2x -\sqrt{3}\sin x\big)dx\\ \\ &=&\pi\big[\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3}\sin 2x -\dfrac{1}{2}\cos 2x -\tan x + x +\sqrt{3}\cos x\big]_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{6}}}\\ \\ &=&\pi\big(\dfrac{2}{3}\times \dfrac{\pi}{6}-\dfrac{1}{3}\sin \dfrac{\pi}{3} -\dfrac{1}{2}\cos \dfrac{\pi}{3} -\tan \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{6} +\sqrt{3}\cos \dfrac{\pi}{6}-(-\dfrac{1}{2}+\sqrt{3})\big)\\ \\ &=&\pi\big(\dfrac{\pi}{9}-\dfrac{\sqrt{3}}{6} -\dfrac{1}{4} - \dfrac{\sqrt{3}}{3} + \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{3}{2} +\dfrac{1}{2}-\sqrt{3})\big)\\ \\ &=&\dfrac{\pi}{36}(63-54\sqrt{3}+10\pi) \end{eqnarray*}

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