電気通信大学 2023年 問題4
$初項が \ a_1\ の等差数列 \ \{a_n\}\ は、すべての項が正の実数で、次の条件をみたすとする。$
$\hspace{5em} a_1\cdot a_2=45,\quad a_2\cdot a_3=105$
$n\ を正の整数とするとき、以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 一般項 \ a_n \ を求めよ。$
\[(2)\ \ T_n=\sum _{k=1}^n (a_k \cdot a_{k+1}) \ \ を \ n\ を用いて表せ。\]
\[(3)\ \ S_n=\sum_{k=1}^n a_k \ \ とする。極限値 \ \ \lim_{n \rightarrow \infty} \cfrac{T_n}{nS_n} \ \ を求めよ。\]
\[(4)\ \ U_n=\sum_{k=1}^n \cfrac{1}{a_k\cdot a_{k+1}}\ \ を \ n\ を用いて表せ。\]
\[(5)\ \ 極限値 \ \ \lim_{n \rightarrow \infty} U_n \ \ を求めよ。\]
(1)
$a_1=a,\ \ 公差を \ d\ とすると \quad a_2=a+d, \quad a_3=a+2d $
$a_1 \cdot a_2=45 \quad より \quad a(a+d)=45 \hspace{9em}①$
$a_2 \cdot a_3=105 \quad より \quad (a+d)(a+2d)=105 \hspace{5em}②$
$②÷① より \quad \cfrac{(a+d)(a+2d)}{a(a+d)}=\cfrac{105}{45} \qquad \cfrac{a+2d}{a}=\cfrac{7}{3}$
$3(a+2d)=7a \qquad 6d=4a$
$\therefore \ \ d=\cfrac{2}{3}a \qquad ①に代入して$
$a(a+\cfrac{2}{3}a)=45 \qquad \cfrac{5}{3}a^2=45$
$a^2=45 \times \cfrac{3}{5}=27 \qquad a > 0 \quad だから \quad a=3\sqrt{3}$
$よって \quad d=\cfrac{2}{3} \times 3\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
$したがって \quad a_n=3\sqrt{3}+(n-1)\times 2\sqrt{3}=\sqrt{3}(2n+1)$
(2)
\begin{eqnarray*} T_n &=&\sum _{k=1}^n (a_k \cdot a_{k+1})\\ \\ &=&\sum _{k=1}^n \sqrt{3}(2k+1) \times \sqrt{3}(2k+3)\\ \\ &=&3\sum _{k=1}^n (2k+1)(2k+3)\\ \\ &=&3\sum _{k=1}^n (4k^2+8k+3)\\ \\ &=&3\big\{4 \times \cfrac{1}{6} n(n+1)(2n+1)+ 8 \times \cfrac{1}{2} n(n+1)+3n \big\}\\ \\ &=&n\big\{2(n+1)(2n+1)+ 12(n+1)+9 \big\}\\ \\ &=&n(4n^2+18n+23) \end{eqnarray*}
(3)
\begin{eqnarray*} S_n &=&\cfrac{n}{2}\{2a+(n-1)d\}\\ \\ &=&\cfrac{n}{2}\{6\sqrt{3}+2\sqrt{3}(n-1)\}\\ \\ &=&\sqrt{3}n(n+2) \end{eqnarray*}
$\cfrac{T_n}{nS_n}=\cfrac{n(4n^2+18n+23)}{\sqrt{3}n^2(n+2)}=\cfrac{4 +\dfrac{18}{n} +\dfrac{23}{n^2}}{\sqrt{3}(1+ \dfrac{2}{n})}$
\[よって \quad \lim_{n \rightarrow \infty} \cfrac{T_n}{nS_n}=\lim_{n \rightarrow \infty} \cfrac{4 +\dfrac{18}{n} +\dfrac{23}{n^2}}{\sqrt{3}(1+ \dfrac{2}{n})}=\cfrac{4}{\sqrt{3}}=\cfrac{4\sqrt{3}}{3}\]
(4)
\begin{eqnarray*} U_n &=&\sum_{k=1}^n \cfrac{1}{a_k\cdot a_{k+1}}\\ \\ &=&\sum _{k=1}^n \cfrac{1}{3(2k+1)(2k+3)}\\ \\ &=&\cfrac{1}{6} \sum _{k=1}^n \big(\cfrac{1}{2k+1} - \cfrac{1}{2k+3}\big)\\ \\ &=&\cfrac{1}{6} \big\{\big(\cfrac{1}{3} - \cfrac{1}{5}\big)+ \big(\cfrac{1}{5} - \cfrac{1}{7}\big) + \cdots + \big(\cfrac{1}{2n+1} - \cfrac{1}{2n+3}\big)\big\}\\ \\ &=&\cfrac{1}{6} \big(\cfrac{1}{3} - \cfrac{1}{2n+3}\big)\\ \end{eqnarray*}
(5)
\[\lim_{n \rightarrow \infty} U_n =\lim_{n \rightarrow \infty} \cfrac{1}{6} \big(\cfrac{1}{3} - \cfrac{1}{2n+3}\big)=\cfrac{1}{6} \times \cfrac{1}{3}=\cfrac{1}{18}\]
$(補充)$
$a_n=\sqrt{3}(2n+1)\ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)\ \ で \ 2n+1\ は奇数列だから$
$この問題は実質奇数列の性質を調べる設問である。$
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