電気通信大学 2023年　問題3


$t \geqq \cfrac{1}{2} \ \ で定義された \ 2\ つの関数 \ \ f(t),\ \ g(t)\ \ を \ \ f(t)=t\sqrt{t},\ \ g(t)=\sqrt{t(2t-1)} \ \ とする。$
$座標平面上の曲線Cの方程式が、媒介変数 \ t\ を用いて \ \ x=f(t),\ \ y=g(t)\ \ と表されるとき、$
$以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 曲線 \ C\ と \ x\ 軸との共有点の座標を求めよ。$
$(2)\ \ 曲線 \ C\ と直線 \ y=x \ との共有点の座標を求めよ。$
$(3)\ \ 曲線 \ C\ は不等式 \ \ y \leqq x \ \ の表す領域に含まれることを示せ。$
$(4)\ \ 曲線 \ C\ 上の点(5\sqrt{5},\ 3\sqrt{5})\ における接線の方程式を求めよ。$
$(5)\ \ 曲線C、直線 \ y=x \ および \ x\ 軸で囲まれた部分の面積 \ S\ を求めよ。$

(1)


$x\ 軸との共有点は \ y=0\ のときだから \quad \sqrt{t(2t-1)} =0$

$t \geqq \cfrac{1}{2} \quad より \quad 　2t-1=0 \qquad \therefore \ \ t=\cfrac{1}{2}$

$このとき \quad x=\cfrac{1}{2}\small{\sqrt{\cfrac{1}{2}}}=\normalsize{\cfrac{\sqrt{2}}{4}}$

$よって、曲線 \ C\ と \ x\ 軸との共有点の座標は\ \ A(\cfrac{\sqrt{2}}{4},\ 0)$


(2)


$y=x \ との共有点は \quad \sqrt{t(2t-1)} =t\sqrt{t} \quad のときだから$

$\sqrt{2t-1} =t \qquad 2t-1=t^2 \qquad (t-1)^2=0$

$\therefore \ \ t=1 \quad このとき \quad x=1,\ \ y=1$

$よって \quad C\ と\ y=x \ との共有点の座標は \quad (1,\ 1)$


(3)

\begin{eqnarray*} x-y &=&t\sqrt{t}-\sqrt{t(2t-1)}\\ \\ &=&\sqrt{t}(t-\sqrt{2t-1})\\ \\ &=&\cfrac{\sqrt{t}(t^2-(2t-1)}{t+\sqrt{2t-1}}\\ \\ &=&\cfrac{\sqrt{t}(t-1)^2}{t+\sqrt{2t-1}}\\ \\ &\geqq&0 \end{eqnarray*} $よって \quad y \leqq x \ \ (等号は \ \ t=1 \ \ のとき)\ \ だから\ \ 曲線 \ C\ は \ \ y \leqq x \ \ の表す領域に含まれる。$

$これは、曲線 \ C\ が直線 \ y=x \ の下側にあるということを示しています。$


(4)


$x=t\sqrt{t}=t^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}} \quad より$

$\cfrac{dx}{dt}=\cfrac{3}{2}t^{\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}=\cfrac{3}{2}\sqrt{t}$

$y=\sqrt{t(2t-1)}=(2t^2-t)^{\scriptsize{\cfrac{1}{2}}} \quad より$

$\cfrac{dy}{dt}=\cfrac{1}{2}(2t^2-t)^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}(4t-1)=\cfrac{4t-1}{2\sqrt{t(2t-1)}}$

$\cfrac{dy}{dx}=\cfrac{dy}{dt} \cdot \cfrac{1}{\dfrac{dx}{dt}}=\cfrac{4t-1}{2\sqrt{t(2t-1)}} \times \cfrac{2}{3\sqrt{t}}=\cfrac{4t-1}{3t\sqrt{2t-1}}$

$点(5\sqrt{5},\ 3\sqrt{5})\ は \ t=5\ \ のときだから \quad \cfrac{dy}{dx}=\cfrac{4\times 5-1}{3 \times 5 \times \sqrt{9}}=\cfrac{19}{45}$

　

$よって 点(5\sqrt{5},\ 3\sqrt{5})\ における接線の方程式は$

$y=\cfrac{19}{45}(x-5\sqrt{5})+3\sqrt{5}$

$y=\cfrac{19}{45}x +\cfrac{8}{9}\sqrt{5}$


$(補充)$

$t=1 \ のとき$

$曲線上の点は \ (1,\ 1), \quad \cfrac{dy}{dx}=\cfrac{4 \times 1 -1}{3 \times 1 \times 1}=1$

$よってこの点における接線の方程式は$

$y=(x-1)+1 \qquad y=x$

$したがって、(2)で求めた曲線 \ C\ と直線 \ y=x \ の共有点が \ 1\ つであることは、y=x \ \ がこの点における$

$曲線 \ C\ の接線だからです。$

　

$t \geqq \cfrac{1}{2} \ \ だから \quad \cfrac{dy}{dx}=\cfrac{4t-1}{3t\sqrt{2t-1}} >0 $

$よって、曲線 \ C\ は単調増加である。$

$また、曲線 \ C\ の凹凸は$
\begin{eqnarray*} \cfrac{d^2y}{dx^2} &=&\cfrac{d}{dx}\big(\cfrac{dy}{dx}\big)\\ \\ &=&\cfrac{dt}{dx}\cdot \cfrac{d}{dt}\big(\cfrac{dy}{dx}\big)\\ \\ &=&\cfrac{2}{3\sqrt{t}}\cdot \cfrac{d}{dt}\big(\cfrac{4t-1}{3t\sqrt{2t-1}}\big)\\ \\ &=&\cfrac{2}{9\sqrt{t}}\cdot \cfrac{4t\sqrt{2t-1}-(4t-1)\big(\sqrt{2t-1}+t\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2t-1}}\big)}{t^2(2t-1)}\\ \\ &=&\cfrac{2}{9} \cdot \cfrac{4t(2t-1)-(4t-1)\big((2t-1)+t \big)}{t^2(2t-1)\sqrt{t(2t-1)}}\\ \\ &=&\cfrac{2}{9} \cdot \cfrac{-4t^2+3t-1}{t^2(2t-1)\sqrt{t(2t-1)}}\\ \\ &=&-\cfrac{2}{9} \cdot \cfrac{4(t-\dfrac{3}{8})^2+\dfrac{7}{16}}{t^2(2t-1)\sqrt{t(2t-1)}}\\ \\ &<&0 \end{eqnarray*} $よって曲線 \ C\ は上に凸な単調増加関数であることがわかりました。$


(5)

　

\begin{eqnarray*} S &=&\triangle OBC -曲線C下の面積\\ \\ &=&\cfrac{1}{2} \times 1 \times 1 - \int _{\scriptsize{\cfrac{\sqrt{2}}{4}}}^1 ydx\\ \\ &=&\cfrac{1}{2} - \int _{\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}^1 \sqrt{t(2t-1)} \times \cfrac{3}{2}\sqrt{t}dt\\ \\ &=&\cfrac{1}{2} - \cfrac{3}{2}\int _{\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}^1 t\sqrt{2t-1} dt\\ \\ &=&\cfrac{1}{2} - \cfrac{3}{2}\int _{\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}^1 \cfrac{1}{2}(2t-1+1)\sqrt{2t-1} dt\\ \\ &=&\cfrac{1}{2} - \cfrac{3}{4}\int _{\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}^1 \big\{(2t-1)^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}}+(2t-1)^{\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}\big\} dt\\ \\ &=&\cfrac{1}{2} - \cfrac{3}{8}\big[\cfrac{2}{5}(2t-1)^{\scriptsize{\cfrac{5}{2}}}+\cfrac{2}{3}(2t-1)^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}}\big] _{\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}^1 \\ \\ &=&\cfrac{1}{2} - \cfrac{3}{8} \times (\cfrac{2}{5} +\cfrac{2}{3})\\ \\ &=&\cfrac{1}{10} \end{eqnarray*}

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