電気通信大学 2023年　問題2


$関数 \ \ f(x)=\cfrac{\log x}{(x+e)^2}\ \ (x > 0)\ \ を考える。ただし、\log x \ は \ e\ を底とする自然対数を表す。$
$このとき、以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 導関数 \ \ f'(x) \ を \ \ f'(x)=\cfrac{g(x)}{x(x+e)^2}\ \ と表すとき、g(x)\ を求めよ。$
$(2)\ \ 関数 \ g(x) \ の極値を求めよ。さらに、x > 0\ の範囲で方程式 \ \ g(x)=0\ \ がただ一つの実数解をもつ$
\[\quad ことを示せ。必要なら \quad \lim_{x \rightarrow +0} x\log x = 0 \quad を用いてもよい。\] $(3)\ \ 関数 \ f(x)\ の極値を求めよ。$
\[(4)\ \ 定積分 \ \ I=\int_1^e \cfrac{1}{x(x+e)} dx \ \ を求めよ。\] $(5)\ \ 曲線 \ y=f(x),\ \ x\ 軸および直線 \ x=e\ \ で囲まれた部分の面積 \ S\ を求めよ。$


(1)


$f'(x)=\cfrac{\dfrac{1}{x} \times (x+e)^2- \log x \times 2(x+e)}{(x+e)^4}=\cfrac{(x+e)- 2x\log x}{x(x+e)^3}$

$よって \quad g(x)=x+e-2x\log x$


(2)


$g'(x)=1-2\log x -2=-1-2\log x$

$g'(x)=0 \ \ より \quad \log x=- \cfrac{1}{2} \qquad x=e^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}=\cfrac{1}{\sqrt{e}}$

$g(x) \ の増減表は$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & 0 & \cdots & e^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}} & \cdots \\ \hline g'(x) & & + & 0 & - \\ \hline g(x) & & \nearrow & 極大 & \searrow \\ \end{array} \]
$x=e^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}} \ で \ g(x)\ は極大となり、極大値は$

$\quad g(e^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}})=e^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}} +e -2e^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}\log e^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}=e^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}} +e +e^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}=e+2e^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}=e+\cfrac{2}{\sqrt{e}} $

　

\[\lim_{x \rightarrow +0} x\log x = 0 \quad を用いて \quad \lim_{x \rightarrow +0} g(x)= e\]
$g(2e)=2e+e-4e\log2e=3e-4e(\log 2+ \log e)=-e-4e\log 2 < 0$

$g(x)\ は区間 \ [ \cfrac{1}{\sqrt{e}},\ 2e] \ で連続で単調減少だから中間値の定理より \ x\ 軸と$

$ただ \ 1\ 点で交わる。この値を \ \alpha \ とすると \ \ x > 0\ の範囲で方程式 \ \ g(x)=0\ \ は$

$ただ一つの実数解 \ \alpha \ をもつ。$


(3)


$(2)の\alpha \ は　\quad g(\alpha)=\alpha +e-2\alpha \log \alpha =0 \ \ を満たすから$

$\log \alpha =\cfrac{\alpha + e}{2\alpha} =\cfrac{\alpha + e}{\alpha +\alpha} \ \ に注意して \ \alpha =e \ であることがわかる。$

$\alpha \ はただ一つの実数解であるから \quad \alpha =e \quad しかない。$

$f(x)\ の増減表は$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & 0 & \cdots & e & \cdots \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - \\ \hline f(x) & & \nearrow & 極大 & \searrow \\ \end{array} \]
$x=e \ で \ f(x)\ は極大となり、極大値は \quad f(e)=\cfrac{\log e}{(e+e)^2}=\cfrac{1}{4e^2} $


(4)


\begin{eqnarray*} I &=&\int_1^e \cfrac{1}{x(x+e)} dx \\ \\ &=&\cfrac{1}{e} \int_1^e \big(\cfrac{1}{x}- \cfrac{1}{x+e}\big ) dx \\ \\ &=&\cfrac{1}{e} \big[\log x -\log(x+e) \big]_1^e \\ \\ &=&\cfrac{1}{e} \big( \log e -\log 2e + \log(1+e) \big )\\ \\ &=&\cfrac{1}{e} \big( \log e -(\log 2 +\log e) + \log(1+e) \big )\\ \\ &=&\cfrac{1}{e} \big( \log(1+e) - \log 2\big )\\ \\ \end{eqnarray*}

(5)

　

\begin{eqnarray*} S &=&\int _1^e\cfrac{\log x}{(x+e)^2} dx\\ \\ &=&\big[-\cfrac{\log x}{x+e} \big]_1^e + \int _1^e\cfrac{1}{x(x+e)}dx\\ \\ &=&-\cfrac{1}{2e} + \cfrac{1}{e} \big(\log (1+e) - \log 2 \big) \hspace{5em}((4)より)\\ \\ &=&\cfrac{1}{e}\big(\log (1+e) - \log 2 -\cfrac{1}{2}\big) \\ \end{eqnarray*}

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