三角形の内角・外角の二等分線の性質


１　内角の二等分線


$\quad 定理1 \quad \triangle ABC \ \ の辺 \ BC\ 上の点 \ D\ について、\angle BAD=\angle DAC \quad ならば \quad AB : AC=BD : DC$

　 $(証明)$

$点 \ C\ を通る \ DA\ に平行な直線と線分 \ BA\ の延長との交点を \ F\ とする。$

$DA /\!/ CF \quad より \quad \angle BAD=\angle AFC\ \ (同位角),\qquad \angle DAC=\angle ACF \ \ (錯角)$

$\angle BAD=\angle DAC \quad だから \quad \angle AFC=\angle ACF$

$よって \quad \triangle ACF \ \ は二等辺三角形となり \quad AC=AF$

$平行線の性質から \quad AB:AC=AB:AF=BD:DC$


$\quad 定理1の逆 \quad \triangle ABC \ \ の辺 \ BC\ 上の点 \ D\ について、AB : AC=BD : DC \quad ならば \quad \angle BAD=\angle DAC $

　 $(証明)$

$点 \ C\ を通る \ DA\ に平行な直線と線分 \ BA\ の延長との交点を \ F\ とする。$

$DA /\!/ CF \quad より \quad \angle BAD=\angle AFC \ \ (同位角),\qquad \angle DAC=\angle ACF \ \ (錯角)$

$平行線の性質から \quad BA:AF=BD:DC$

$仮定から \quad AB : AC=BD : DC \quad だから \quad AF=AC$

$よって \quad \triangle ACF \ \ は二等辺三角形となり \quad \angle AFC=\angle ACF$

$したがって \quad \angle BAD=\angle DAC$


2　外角の二等分線


$\quad 定理2 \quad \triangle ABC \ \ の辺 \ BC\ の延長上の点 \ D\ について、\angle FAD=\angle DAC \quad ならば \quad AB : AC=BD : DC$

　 $(証明)$

$AB > AC \ \ の場合の図は右図のとおりで、$

$AB < AC \ \ の場合はこの図をひっくり返せばよい。$

$点 \ C\ を通る \ DA\ に平行な直線と線分 \ AB\ との交点を \ E\ とする。$

$DA /\!/ CE \quad より$

$\quad \angle FAD=\angle AEC\ \ (同位角),\qquad \angle DAC=\angle ACE \ \ (錯角)$

$\angle FAD=\angle DAC \quad だから \quad \angle AEC=\angle ACE$

$よって \quad \triangle ACE \ \ は二等辺三角形となり \quad AC=AE$

$平行線の性質から \quad AB:AC=AB:AE=BD:DC$


$\quad 定理2の逆 \quad \triangle ABC \ \ の辺 \ BC\ の延長上の点 \ D\ について、AB : AC=BD : DC \quad ならば \quad \angle FAD=\angle DAC $

　 $(証明)$

$点 \ C\ を通る \ DA\ に平行な直線と線分 \ AB\ との交点を \ E\ とする。$

$DA /\!/ CE \quad より$

$\quad \angle FAD=\angle AEC\ \ (同位角),\qquad \angle DAC=\angle ACE \ \ (錯角)$

$平行線の性質から \quad BA:AE=BD:DC$

$仮定から \quad AB : AC=BD : DC \quad だから \quad AE=AC$

$よって \quad \triangle ACE \ \ は二等辺三角形となり \quad \angle AEC=\angle ACE$

$したがって \quad \angle FAD=\angle DAC$


3　3点A,D,Eの位置関係


　 $\triangle ABC \ \ において、\angle A\ の内角と外角の二等分線と$

$辺 \ BC\ との交点をそれぞれ \ D,\ E\ とする。$

$\angle DAE=\angle DAC +\angle CAE=\cfrac{1}{2}\angle BAF=90°$

$したがって点 \ A\ は、DE\ を直径とする円周上にある。$



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