MY MATH NOTE

外心

　
$\Longrightarrow の証明$

$線分 \ AB\ の中点を \ M\ とする。\triangle PAM \ と \ \triangle PBM\ \ において、$
$点 \ P\ が \ l\ 上の点ならば、$
$AM=BM,\ PM\ は共通、\angle AMP=\angle BMP=90° \quad だから \quad \triangle PAM \equiv \triangle PBM$
$よって \quad PA=PB$

$\Longleftarrow の証明$

$点 \ P\ から辺 \ AB\ に下ろした垂線の足を \ M\ とすると、直角三角形 \ PAM\ と \ PBM\ において$
$PA=PB,\ PM\ は共通だから \quad \triangle PAM \equiv \triangle PBM$
$よって \quad AM=BM \quad だから \quad 点 \ P\ は 線分ABの垂直二等分線、すなわち\ l\ 上の点である。$

$\quad 定理 \quad 三角形の \ 3\ つの辺の垂直二等分線は \ 1\ 点で交わる。$

　
$\qquad この点を三角形の$ 外心 $という。$


$証明$

$\triangle ABC \ \ において、辺 AB,AC の垂直二等分線の交点を \ O\ とする。$

　
$上の補助定理をつかって$
$\quad 点 \ O\ は、辺ABの垂直二等分線上の点だから \quad OA=OB $
$\quad 点 \ O\ は、辺ACの垂直二等分線上の点だから \quad OA=OC$

$よって、OB=OC \quad だから補助定理の逆より、点 \ O\ は \ 辺BCの$
$垂直二等分線上にある。$

$したがって、三角形の \ 3\ つの辺の垂直二等分線は \ 1\ 点で交わる。$

　
$また、証明からわかるように \quad OA=OB=OC \quad だから点 \ O\ を中心、$
$半径 \ OA\ の円をかけば、この円は点 \ B,\ C\ を通る。$
$すなわち、この円は \ \triangle ABC \ の外接円となるから、その中心を$
$外心というわけである。$

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