千葉大学(理系) 2023年 問題9
$関数\ f(x)\ と実数 \ t\ に対し、x\ の関数 \ tx-f(x)\ の最大値があればそれを \ g(t)\ と書く。$
$(1)\ \ f(x)=x^4 \ \ のとき、任意の実数 \ t\ について \ g(t)\ が存在する。この \ g(t)\ を求めよ。$
$以下、関数 \ f(x)\ は連続な導関数 \ f'(x) \ を持ち、次の \ 2\ つの条件(ⅰ),(ⅱ)が成り立つものとする。$
$\quad (ⅰ)\ \ f'(x)\ は増加関数、すなわち \ a < b \ \ ならば \ \ f'(a) < f'(b)$
\[\quad (ⅱ) \lim_{x \rightarrow -\infty} f'(x)=-\infty \ \ かつ \ \ \lim_{x \rightarrow \infty} f'(x)=\infty \]
$(2)\ \ 任意の実数 \ t\ に対して、x\ の関数 \ \ tx-f(x)\ \ は最大値 \ g(t)\ を持つことを示せ。$
$(3)\ \ s\ を実数とする。t\ が実数全体を動くとき、t\ の関数 \ \ st-g(t)\ \ の最大値は \ f(s)\ となることを示せ。$
(1)
$h(x)=tx-f(x)=tx-x^4 \quad とおくと \quad h'(x)=t-4x^3=-4(x^3-\cfrac{t}{4})$
$h'(x)=0 \ \ の実数解は \quad x=\big(\cfrac{t}{4}\big)^{\scriptsize{\dfrac{1}{3}}}$
$h(x)\ の増減表は$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x& \cdots & \big(\cfrac{t}{4}\big)^{\scriptsize{\dfrac{1}{3}}} & \cdots \\ \hline h'(x) & + & 0 & - \\ \hline h(x)& \nearrow & 極大 & \searrow \\ \end{array} \]
$h(x)\ は \ \ x= \big(\cfrac{t}{4}\big)^{\scriptsize{\dfrac{1}{3}}} \ で極大かつ最大となり、最大値は$
$g(t)=h(\big(\cfrac{t}{4}\big)^{\scriptsize{\dfrac{1}{3}}})=t\big(\cfrac{t}{4}\big)^{\scriptsize{\dfrac{1}{3}}} -\big(\cfrac{t}{4}\big)^{\scriptsize{\dfrac{4}{3}}}=4\big(\cfrac{t}{4}\big)^{\scriptsize{\dfrac{4}{3}}}- \big(\cfrac{t}{4}\big)^{\scriptsize{\dfrac{4}{3}}}=3\big(\cfrac{t}{4}\big)^{\scriptsize{\dfrac{4}{3}}}$
(2)
$h(x)=tx-f(x) \quad とおくと \quad h'(x)=t-f'(x)$
\[f(x)\ の \ 2\ つの条件より \quad h'(x)\ は単調減少関数で、\lim_{x \rightarrow -\infty} h'(x)=\infty \ \ \lim_{x \rightarrow \infty} h'(x)=-\infty \quad だから\]
$h'(\alpha)=0 \ \ となる \ \alpha \ がただ \ 1\ つ存在する。$
$h(x)\ の増減表は$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x& \cdots & \alpha & \cdots \\ \hline h'(x)& + & 0 & - \\ \hline h(x)& \nearrow & 極大 & \searrow \\ \end{array} \]
$h(x)\ は \ \ x= \alpha \ で極大かつ最大となり、最大値 \ \ g(t)=h(\alpha)=t\alpha -f(\alpha)\ \ をもつ$
(3)
$(2)より \ \ h(x)=tx-f(x) \ \ は最大値 \ \ g(t)=t\alpha -f(\alpha)\ \ をもつから$ $任意の実数 \ x\ に対して \quad tx-f(x) \leqq g(t)$
$x=s \ \ を代入して \quad ts -f(s) \leqq g(t)$
$したがって \quad st -g(t) \leqq f(s)$
$これは\ t\ の関数 \ \ st-g(t) \ \ の最大値が \ f(s)\ であることを示している。$
$(確認)$
$(1)の \ \ f(x)=x^4 \ \ について \ f'(x)=4x^3 \ \ は条件(ⅰ),(ⅱ)を満たし、g(t)=3\big(\cfrac{t}{4}\big)^{\scriptsize{\dfrac{4}{3}}}$
$u(t)=st-g(t)=st-3\big(\cfrac{t}{4}\big)^{\scriptsize{\dfrac{4}{3}}} \quad とおくと$
$u'(t)=s-3 \times \cfrac{4}{3} \times \cfrac{1}{4}\big(\cfrac{t}{4}\big)^{\scriptsize{\dfrac{1}{3}}}=s-\big(\cfrac{t}{4}\big)^{\scriptsize{\dfrac{1}{3}}}$
$u'(t)=0 \quad より \quad \big(\cfrac{t}{4}\big)^{\scriptsize{\dfrac{1}{3}}}=s \qquad \therefore \ \ t=4s^3$
$u(x)\ の増減表は$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t& \cdots & 4s^3 & \cdots \\ \hline u'(x) & + & 0 & - \\ \hline u(x)& \nearrow & 極大 & \searrow \\ \end{array} \]
$u(x)\ は \ \ t= 4s^3 \ で極大かつ最大となり、最大値 は$
$u(4s^3)=s(4s^3)-3(s^3)^{\scriptsize{\dfrac{4}{3}}}=4s^4-3s^4=s^4=f(s)$
$(まとめ) \quad f'(x)\ \ に条件が必要であるが、$
$「x\ の関数 \ \ tx-f(x)\ \ が最大値 \ g(t)\ をもてば \ t\ の関数 \ \ st-g(t)\ \ は最大値 \ f(s)\ をもつ」$
$もちろん逆もいえて、共役の関係が成りたつ面白い関数です。$
メインメニュー に戻る