千葉大学(理系) 2023年　問題7


$関数\ \ f(x)=\big|\cos x - \sqrt{5}\sin x -\cfrac{3\sqrt{2}}{2}\big|\ \ について、以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ f(x)\ の最大値を求めよ。$
\[(2)\ \ \int_0^{2\pi} f(x)dx \ \ を求めよ。\] \[(3)\ \ S(t)=\int_t^{t+\scriptsize{\cfrac{\pi}{3}}} f(x)dx \ \ とおく。このとき \ S(t)\ の最大値を求めよ。\]

(1)

　

$f(x)\ は明らかに周期 \ 2\pi \ の周期関数である。$

$\cos x - \sqrt{5}\sin x =\sqrt{6}\cos (x+\alpha) \ \ と合成すると$

$ただし \quad \cos \alpha=\cfrac{1}{\sqrt{6}},\quad \sin \alpha=\cfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$

$f(x)=\big|\sqrt{6}\cos (x+\alpha) -\cfrac{3\sqrt{2}}{2}\big|=\sqrt{6}\big|\cos (x+\alpha) -\cfrac{\sqrt{3}}{2}\big|$

$\cos (x+\alpha)=-1 \quad のとき、すなわち \quad x=\pi - \alpha \quad のとき \ f(x)\ は最大値$

$f(\pi-\alpha )=\sqrt{6}\big|-1-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\big|=\sqrt{6}(1+\cfrac{\sqrt{3}}{2})=\sqrt{6}+\cfrac{3\sqrt{2}}{2}\quad をもつ$


$(注意)$

$\cos \alpha=\cfrac{1}{\sqrt{6}},\quad \sin \alpha=\cfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\quad をみたす \ \alpha \ は \quad \tan \alpha=\sqrt{5} \quad より \quad \alpha =\tan ^{-1}\sqrt{5}=1.15$

$したがって \quad \pi -\alpha =3.14 -1.15=1.99 \fallingdotseq 2 \quad となって上のグラフでは \ 2\ に一致しているようにみえる。$


(2)


$f(x)\ が周期 \ 2\pi\ の周期関数のとき 任意の実数 \ p\ に対して$

\[\int _0^{2\pi} f(x)dx=\int _p^{p+2\pi} f(x)dx \hspace{3em}(証明は下の補充をご覧ください)\]
$また、\cos x \ は直線 \ x=\pi \ で線対称だから、\cos (x+\alpha)\ は直線 \ x= -\alpha +\pi \ で線対称である。$

\[したがって \quad I=\int _0^{2\pi}f(x)dx=\int_{-\alpha}^{-\alpha+2\pi}f(x)dx=2\int_{-\alpha}^{-\alpha+\pi}f(x)dx\]
$-\alpha \leqq x \leqq -\alpha +\pi \ \ で \ f(x) \geqq 0 \ \ を解くと \quad \cos(x+\alpha) \geqq \cfrac{\sqrt{3}}{2} \quad より \quad -\alpha \leqq x \leqq -\alpha + \cfrac{\pi}{6}$

\begin{eqnarray*} I &=&2\int_{-\alpha}^{-\alpha +\pi}f(x)dx\\ \\ &=&2\int_{-\alpha }^{-\alpha+\scriptsize{\cfrac{\pi}{6}}}f(x)dx + 2\int_{-\alpha +\scriptsize{\cfrac{\pi}{6}}}^{-\alpha + \pi}f(x)dx\\ \\ &=&2\int_{-\alpha }^{-\alpha+\scriptsize{\cfrac{\pi}{6}}}\sqrt{6}\Big(\cos (x+\alpha)-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)dx - 2\int_{-\alpha +\scriptsize{\cfrac{\pi}{6}}}^{-\alpha + \pi}\sqrt{6}\Big(\cos (x+\alpha)-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)dx\\ \\ &=&2\sqrt{6}\big[\sin(x+\alpha)-\cfrac{\sqrt{3}}{2}x \big]_{-\alpha}^{-\alpha+\scriptsize{\cfrac{\pi}{6}}} -2\sqrt{6}\big[\sin(x+\alpha)-\cfrac{\sqrt{3}}{2}x \big]_{-\alpha+\scriptsize{\cfrac{\pi}{6}}}^{-\alpha +\pi}\\ \\ &=&2\sqrt{6}\Big\{\sin \cfrac{\pi}{6}-\cfrac{\sqrt{3}}{2}(-\alpha+\cfrac{\pi}{6})-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\alpha -\sin \pi +\cfrac{\sqrt{3}}{2}(-\alpha +\pi) + \sin \cfrac{\pi}{6} - \cfrac{\sqrt{3}}{2}(-\alpha+\cfrac{\pi}{6})\Big \}\\ \\ &=&2\sqrt{6}\big(1+\cfrac{\sqrt{3}}{3}\pi\big)\\ \\ &=&2\sqrt{6}+2\sqrt{2}\pi \\ \end{eqnarray*}
\[したがって \quad \int _0^{2\pi}f(x)dx=2\sqrt{6}+2\sqrt{2}\pi\]

(3)

　

\[S(t)=\int_t^{t+\scriptsize{\cfrac{\pi}{3}}} f(x)dx \ \ が最大となるのはグラフから \ \ f(x)=\cfrac{\sqrt{3}}{2}-\cos(x+\alpha)\] $の部分である。$
\[S(t)=\int_t^{t+\scriptsize{\cfrac{\pi}{3}}} f(x)dx \ \ の積分区間 \ \ [t,\ t+\cfrac{\pi}{3}]\ \ で、区間の幅は \ \ \cfrac{\pi}{3}\ \ であるから\] $この幅で \ S(t)\ が最大になる区間をさがすと、(1)より \ f(x)\ が最大になる$

$\pi - \alpha \ \ を中点にもつ区間であることがわかる。$

$\cfrac{t+(t+\dfrac{\pi}{3})}{2}=\pi - \alpha \quad より \quad t=-\alpha +\cfrac{5}{6}\pi$

$t+\cfrac{\pi}{3}=(-\alpha +\cfrac{5}{6}\pi) +\cfrac{\pi}{3}=-\alpha +\cfrac{7}{6}\pi$

$よって \quad S(t)\ の最大値は$
\begin{eqnarray*} & &S(-\alpha +\cfrac{5}{6}\pi)\\ \\ &=&\sqrt{6} \int_{-\alpha +\scriptsize{\cfrac{5}{6}\pi}}^{-\alpha +\scriptsize{\cfrac{7}{6}\pi}} \{\cfrac{\sqrt{3}}{2}-\cos (x+\alpha)\}dx\\ \\ &=&\sqrt{6}\big[\cfrac{\sqrt{3}}{2}x-\sin (x+\alpha)\big]_{-\alpha +\scriptsize{\cfrac{5}{6}\pi}}^{-\alpha +\scriptsize{\cfrac{7}{6}\pi}} \\ \\ &=&\sqrt{6}\Big\{\cfrac{\sqrt{3}}{2}(-\alpha +\cfrac{7}{6}\pi)-\sin \cfrac{7}{6}\pi - \cfrac{\sqrt{3}}{2}(-\alpha +\cfrac{5}{6}\pi)+\sin \cfrac{5}{6}\pi \Big\}\\ \\ &=&\sqrt{6}\big(1+\cfrac{\sqrt{3}}{6}\pi\big)\\ \\ &=&\sqrt{6} + \cfrac{\sqrt{2}}{2}\pi\\ \end{eqnarray*}

$(別解)$
\begin{eqnarray*} S'(t) &=&f(t+\cfrac{\pi}{3})-f(t)\\ \\ &=&\Big\{\cfrac{\sqrt{3}}{2}-\cos(t+\cfrac{\pi}{3}+\alpha)\Big\}-\Big\{\cfrac{\sqrt{3}}{2}-\cos(t+\alpha)\Big\}\\ \\ &=&\cos(t+\alpha) - \cos(t+\cfrac{\pi}{3}+\alpha)\\ \\ &=&-2\sin(t+\alpha + \cfrac{\pi}{6})\sin(-\cfrac{\pi}{6})\\ \\ &=&\sin(t+\alpha + \cfrac{\pi}{6})\\ \end{eqnarray*} $\tan \alpha=\sqrt{5} \quad より \quad \cfrac{\pi}{3} < \alpha < \cfrac{\pi}{2} \quad だから \quad \cfrac{\pi}{2} < \alpha + \cfrac{\pi}{6} < \cfrac{2}{3}\pi$

$0 < x <\cfrac{3}{2}\pi \ \ で \ \ S'(t)=0\ \ を解くと \quad t+\alpha + \cfrac{\pi}{6}=\pi \qquad \therefore\ \ t=-\alpha +\cfrac{5}{6}\pi$


$(補充)$

$f(x)\ が周期 \ 2\pi \ の周期関数のとき 任意の実数 \ p\ に対して$

\[\int _0^{2\pi} f(x)dx=\int _p^{p+2\pi} f(x)dx \hspace{3em} \]

　

$(証明)$

\begin{eqnarray*} J &=&\int _0^{2\pi} f(x)dx - \int _p^{p+2\pi} f(x)dx\\ \\ &=&\Big(\int_0^p f(x)dx+ \int _p^{2\pi}f(x)dx \Big)-\Big(\int_p ^{2\pi}f(x)dx+ \int _{2\pi}^{p+2\pi}f(x)dx\Big)\\ \\ &=&\int_0^p f(x)dx - \int _{2\pi}^{p+2\pi}f(x)dx \\ \end{eqnarray*} \[ 第 \ 2\ 項で \quad t=x-2\pi \quad とおくと \quad dt=dx \quad \begin{array}{c|c} x & 2\pi \rightarrow p+2\pi \\ \hline t & 0 \rightarrow p \quad \ \\ \end{array} \] \[\int _{2\pi}^{p+2\pi}f(x)dx=\int _0^pf(t+2\pi)dt=\int _0^pf(t)dt=\int _0^pf(x)dx\] \[J=0 \ \ だから \quad \int _0^{2\pi} f(x)dx=\int _p^{p+2\pi} f(x)dx \]

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