千葉大学(理系) 2023年　問題5


$点\ O\ を原点とする座標平面において、点 \ A\ と点 \ B\ が \ \ \vec{OA}\cdot \vec{OA}=5,\ \ \vec{OB}\cdot \vec{OB}=2,\ \ \vec{OA}\cdot \vec{OB}=3$
$を満たすとする。$
$(1)\ \ \vec{OB}=k\vec{OA}\ \ となるような実数 \ k\ は存在しないことを示せ。$
$(2)\ \ 点 \ B\ から直線 \ OA\ に下ろした垂線と \ OA\ との交点を \ H\ とする。\vec{HB}\ \ を \ \ \vec{OA}\ と \ \vec{OB}\ を用いて表せ。$
$(3)\ \ 実数 \ t\ に対し、直線 \ OA\ 上の点 \ P\ を \ \vec{OP}=t\vec{OA}\ となるようにとる。同様に直線 \ OB\ 上の点 \ Q\ を$
$\quad \vec{OQ}=(1-t)\vec{OB}\ となるようにとる。点 \ P\ を通り直線 \ OA\ と直交する直線を \ \ell_1\ とし、点 \ Q\ を通り$
$\quad 直線 \ OB\ と直交する直線を \ \ell_2\ とする。\ell_1\ と \ \ell_2\ の交点を \ R\ とするとき、\vec{OR}\ を \ \vec{OA},\ \vec{OB},\ t\ を用いて表せ。$
$(4)\ \ 3\ 点 \ O,\ A,\ B\ を通る円の中心を \ C\ とするとき、\vec{OC}\ を \ \vec{OA} と \ \vec{OB}\ を用いて表せ。$

(1)


$\vec{OA}\cdot \vec{OA}=5 \quad より \quad |\vec{OA}|=\sqrt{5},\quad \vec{OB}\cdot \vec{OB}=2 \quad より \quad |\vec{OB}|=\sqrt{2}$

$\vec{OA}\ \ と \ \ \vec{OB}\ \ のなす角を \ \theta \ とすると$

$\vec{OA} \cdot \vec{OB}=3 \quad より \quad |\vec{OA}||\vec{OB}|\cos \theta=3$

$\sqrt{5} \times \sqrt{2} \times \cos \theta=3 \qquad \cos \theta=\cfrac{3}{\sqrt{10}}$

$明らかに \quad \theta \ne 0,\ \ \pi \quad だから \quad \vec{OA}\ \ と \ \ \vec{OB}\ は平行でない。$

$よって \quad \vec{OB}=k\vec{OA}\ \ となるような実数 \ k\ は存在しない。$


$(別解)$

$\vec{OB}=k\vec{OA}\ \ となるような実数 \ k\ が存在したとすると$

$\vec{OA}\cdot \vec{OB}=3 \quad より \quad \vec{OA} \cdot k \vec{OA}=3$

$k\vec{OA}\cdot \vec{OA}=3 \qquad 5k=3 \qquad k=\cfrac{3}{5}$

$このとき \quad \vec{OB}\cdot \vec{OB}=\cfrac{3}{5}\vec{OA} \cdot \cfrac{3}{5} \vec{OA}$

$左辺=2,\qquad 右辺=\cfrac{9}{25} \times 5=\cfrac{9}{5}\quad となって矛盾する。$


(2)

　

$点 \ H\ は線分 \ OA\ 上にあるから \quad \vec{OH}=m\vec{OA}\quad とおける。$

$\vec{HB}=\vec{OB}-\vec{OH}=\vec{OB}-m\vec{OA}$

$\vec{HB} \perp \vec{OA} \quad だから \quad \vec{HB} \cdot \vec{OA}=0$

$(\vec{OB}-m\vec{OA}) \cdot \vec{OA}=0$

$\vec{OB} \cdot \vec{OA} -m\vec{OA} \cdot \vec{OA}=0$

$3- 5m=0 \qquad \therefore m=\cfrac{3}{5}$

$よって \quad \vec{HB}=\vec{OB}-\cfrac{3}{5}\vec{OA}$


(3)

　

$点 \ R\ は \ 3\ 点 \ O,\ A,\ B\ で定まる平面上にあるから$

$\vec{OR}=p\vec{OA}+q\vec{OB}\ \ (p,\ q\ は実数)\ とおける。$

(i)$\ \ \vec{PR} \perp \vec{OA} \quad より \quad (\vec{OR}-\vec{OP})\cdot \vec{OA}=0$

$\quad (p\vec{OA}+q\vec{OB}-t\vec{OA})\cdot \vec{OA}=0$

$\quad ((p-t)\vec{OA}+q\vec{OB})\cdot \vec{OA}=0$

$\quad (p-t)\vec{OA}\cdot \vec{OA}+q\vec{OB}\cdot \vec{OA}=0$

$\quad 5(p-t)+3q=0$

$\quad 5p+3q=5t \hspace{5em}①$

(ii)$\ \ \vec{QR} \perp \vec{OB} \quad より \quad (\vec{OR}-\vec{OQ})\cdot \vec{OB}=0$

$\quad (p\vec{OA}+q\vec{OB}-(1-t)\vec{OB})\cdot \vec{OB}=0$

$\quad (p\vec{OA} +(q-1+t)\vec{OB})\cdot \vec{OB}=0$

$\quad p\vec{OA}\cdot \vec{OB}+(q-1+t)\vec{OB}\cdot \vec{OB}=0$

$\quad 3p+2(q-1+t)=0 $

$\quad 3p+2q=2(1-t) \hspace{5em}②$

$①、②を解いて \quad p=2(8t-3),\quad q=-5(5t-2)$

$したがって \quad \vec{OR}=2(8t-3)\vec{OA}-5(5t-2)\vec{OB}$


(4)

　

$円の中心 \ C\ は、弦 \ OA,\ OB\ の垂直二等分線上にあるから$

$(3)で \quad t=\cfrac{1}{2} \quad のときの点 \ R\ である。$

$したがって$

$\vec{OC}=2(8\times \cfrac{1}{2}-3)\vec{OA}-5(5 \times \cfrac{1}{2}-2)\vec{OB}=2\vec{OA}-\cfrac{5}{2}\vec{OB}$


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