千葉大学(理系) 2023年　問題4


$2\ つの実数 \ a,\ b\ は \ \ 0 < b < a\ \ を満たすとする。関数 \ \ f(x)=\cfrac{1}{b}\big(e^{-(a-b)x} - e^{-ax} \big) \ \ の最大値を \ M(a,\ b),$
$最大値をとるときの \ x\ の値を \ X(a,\ b)\ と表す。ここで、e\ は自然対数の底である。$
$(1)\ \ X(a,\ b)\ \ を求めよ。$
\[(2)\ \ 極限 \ \ \lim_{b \rightarrow +0} X(a,\ b)\ \ を求めよ。\] \[(3)\ \ 極限 \ \ \lim_{b \rightarrow +0} M(a,\ b)\ \ を求めよ。\]


(1)


$f(x)=\cfrac{1}{b}\big(e^{-(a-b)x} - e^{-ax} \big) \ \ より$

$f'(x)=-\cfrac{a-b}{b}e^{-(a-b)x} + \cfrac{a}{b}e^{-ax} =-\cfrac{a-b}{b}e^{-ax} \big(e^{bx} - \cfrac{a}{a-b}\big)$

$f'(x)=0 \quad より \quad e^{bx} = \cfrac{a}{a-b} \qquad bx=\log \cfrac{a}{a-b} \qquad \therefore \ \ x=\cfrac{1}{b}\log \cfrac{a}{a-b} $

\[ 増減表は \qquad \begin{array}{c||c|c|c} x& \cdots & \small{\cfrac{1}{b}\log \cfrac{a}{a-b}} & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \nearrow & 極大 & \searrow \\ \end{array} \]
$x=\cfrac{1}{b}\log \cfrac{a}{a-b} \ \ で \ f(x)\ は極大かつ最大となるから \quad X(a,b)=\cfrac{1}{b}\log \cfrac{a}{a-b} $


(2)


$X(a,b)=\cfrac{1}{b}\log \cfrac{a}{a-b}=\cfrac{\log a -\log (a-b)}{a-(a-b)}$

$g(x)=\log x \ \ は 区間 \ [a-b,\ a]\ で連続で、区間 \ (a-b,\ a)\ で微分可能だから、平均値の定理より$

$\cfrac{\log a -\log (a-b)}{a-(a-b)}=g'(c) \quad となる \ c\ が \ (a-b,\ a)\ に少なくとも \ 1\ つ存在する。$

$g'(x)=\cfrac{1}{x} \quad だから \quad g'(c)=\cfrac{1}{c}$

$a-b < c < a \quad だから \quad b \longrightarrow +0 \quad とすると \quad a-b \longrightarrow a \qquad はさみ打ちの原理より \quad c \longrightarrow a$

\[したがって \quad \lim_{b \rightarrow +0} X(a,\ b)= \lim_{c \rightarrow a} \cfrac{1}{c}= \cfrac{1}{a}\]

(3)


$X(a,b)=\alpha \quad とおくと \quad e^{b\alpha}=\cfrac{a}{a-b} \quad より \quad e^{\alpha}=\big(\cfrac{a}{a-b}\big)^{\small{\dfrac{1}{b}}},\qquad e^{-a\alpha}=\big(\cfrac{a}{a-b}\big)^{\small{-\dfrac{a}{b}}}$

$最大値は$

\begin{eqnarray*} M(a,b) &=&f(\alpha)\\ \\ &=&\cfrac{1}{b}\big(e^{-(a-b)\alpha} - e^{-a\alpha} \big)\\ \\ &=&\cfrac{e^{-a\alpha}}{b}\big(e^{b\alpha}-1\big)\\ \\ &=&\cfrac{1}{b}\big(\cfrac{a}{a-b}\big)^{\small{-\dfrac{a}{b}}} \times \big(\cfrac{a}{a-b}-1\big)\\ \\ &=&\cfrac{1}{b}\big(\cfrac{a}{a-b}\big)^{\small{-\dfrac{a}{b}}} \times \cfrac{b}{a-b}\\ \\ &=&\cfrac{1}{a-b}\big(\cfrac{a}{a-b}\big)^{\small{-\dfrac{a}{b}}}\\ \\ &=&a^{\small{-\dfrac{a}{b}}} \times \big(\cfrac{1}{a-b}\big)^{1-\small{\dfrac{a}{b}}}\\ \\ &=&a^{\small{-\dfrac{a}{b}}} (a-b)^{\small{\dfrac{a}{b}-1}}\\ \\ &=&a^{\small{-\dfrac{a}{b}}} \big\{a\big(1-\cfrac{b}{a}\big)\big\}^{\small{\dfrac{a}{b}-1}}\\ \\ &=&a^{\small{-\dfrac{a}{b}}} a^{\small{\dfrac{a}{b}-1}}\big(1-\cfrac{b}{a}\big)^{\small{\dfrac{a}{b}-1}}\\ \\ &=&a^{-1}\big(1-\cfrac{b}{a}\big)^{\small{\dfrac{a}{b}-1}} \hspace{3em}(\cfrac{b}{a}=h \quad とおくと)\\ \\ &=&\cfrac{1}{a}(1-h)^{\small{\dfrac{1}{h}-1}}\\ \\ &=&\cfrac{1}{a(1-h)}\cdot \cfrac{1}{(1-h)^{\small{-\dfrac{1}{h}}}}\\ \end{eqnarray*}
$b \longrightarrow +0 \quad とすると \quad h \longrightarrow +0 \quad このとき \quad (1-h)^{\small{-\dfrac{1}{h}}} \longrightarrow e \quad だから$

\[\lim_{b \rightarrow +0} M(a,\ b) = \lim _{h \rightarrow +0}\cfrac{1}{a(1-h)}\cdot \cfrac{1}{(1-h)^{\small{-\dfrac{1}{h}}}}=\cfrac{1}{ae}\]

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