千葉大学(理系) 2023年 問題3(2)
\[(2)\ \ 等式 \quad f(x)=x^2+\int_{-1}^2 (xf(t)-t)dt \ \ を満たす関数 \ f(x) を求めよ。\]
(2)
\begin{eqnarray*} f(x) &=&x^2+\int_{-1}^2 (xf(t)-t)dt\\ \\ \\ &=&x^2+ x \int_{-1}^2 f(t)dt - \int_{-1}^2 tdt\\ \\ \\ &=&x^2+ x \int_{-1}^2 f(t)dt - \big[\cfrac{t^2}{2}\big]_{-1}^2 \\ \\ \\ &=&x^2+ x \int_{-1}^2 f(t)dt - \cfrac{3}{2}\\ \end{eqnarray*} \[\int_{-1}^2 f(t)dt=C\ \ (定数)\ とおけるから \qquad f(x)=x^2+Cx - \cfrac{3}{2}\]
$よって$
\[ \int_{-1}^2 (t^2+Ct - \cfrac{3}{2})dt=C \\ \\ \big[\cfrac{t^3}{3}+\cfrac{C}{2}t^2 -\cfrac{3}{2}t\big]_{-1}^2=C\\ \\ \big(\cfrac{8}{3}+2C-3\big)-\big(-\cfrac{1}{3}+\cfrac{C}{2}+\cfrac{3}{2}\big)=C\\ \\ \\ \cfrac{C}{2}=\cfrac{3}{2}\\ \\ \\ C=3\\ \] $したがって \quad f(x)=x^2+3x-\cfrac{3}{2}$
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