千葉大学(理系) 2023年　問題3(1)


$(1)\ \ p\ を実数とする。曲線 \ \ y=|x^2+x-2|\ \ と直線 \ \ y-x+p \ \ の共有点の個数を求めよ。$

　

$y=|x^2+x-2|=|(x+2)(x-1)| \ \ の絶対値をはずすと$
\[ \hspace{1em} y= \left\{ \begin{array}{l} x^2+x-2 \qquad \ (x \leqq -2 , \quad x \geqq 1)\\ -x^2-x+2 \qquad (-2 < x <1)\\ \end{array} \right. \]
$このグラフは右図のとおりで、y=x+p \ \ との交点は$

(i)$\ \ (1,\ 0)\ \ を通るとき$

$\qquad 0=1+p \quad より \quad p=-1$

(ii)$\ \ (-2,\ 0) \ \ を通るとき$

$\qquad 0=-2+p \quad より \quad p=2$

(iii)$\ \ y=-x^2-x+2 \ \ と接するとき$

$\qquad -x^2-x+2=x+p $

$\qquad x^2+2x+p-2=0 \quad が重解をもつから$

$\qquad \cfrac{D}{4}=1-(p-2)=0 \qquad p=3$

$\qquad このとき接点は \ x=-1 \ だから確かに \ y=-x^2-x+2\ 上にある。$

$以上より \quad y=|x^2+x-2|\ \ と \ \ y-x+p \ \ の共有点の個数は$

　

$\quad (ア)\ \ p < -1 \quad のとき \quad 0\ 個$

$\quad (イ)\ \ p = -1 \quad のとき \quad 1\ 個$

$\quad (ウ)\ \ -1 < p < 2 \quad のとき \quad 2\ 個$

$\quad (エ)\ \ p = 2 \quad のとき \quad 3\ 個$

$\quad (オ)\ \ 2 < p < 3 \quad のとき \quad 4\ 個$

$\quad (カ)\ \ p = 3 \quad のとき \quad 3\ 個$

$\quad (キ)\ \ p > 3 \quad のとき \quad 2\ 個$


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