千葉大学(理系) 2022年　問題8


\[正の整数 \ m,\ n\ に対して、A(m,n)=(m+1)n^{m+1}\int _0^{\scriptsize{\cfrac{1}{n}}} x^m e^{-x} dx \ \ とおく。\] $(1)\ \ e^{\scriptsize{-\cfrac{1}{n}}} \leqq A(m,n) \leqq 1 \quad を証明せよ。$
\[(2)\ \ 各 \ m\ に対して、b_m=\lim _{n \rightarrow \infty} A(m,n) \ \ を求めよ。\] \[(3)\ \ 各 \ n\ に対して、c_n=\lim _{m \rightarrow \infty} A(m,n) \ \ を求めよ。\]


$(解説)$

$(1)\ \ 積分区間 \ \ 0 \leqq x \leqq \cfrac{1}{n}\ \ より \ \ e^{-x}\ \ を上と下で押さえます。$
$(2)\ \ はさみ打ちの原理をつかいます。$
$(3)\ \ x^m \ \ を積分項とみて部分積分をおこないます。得られた積分を \ \ e^{-x} \leqq 1 \ \ で評価してもう一度積分します。$


(1)


$y=e^{-x} \ \ は単調減少だから \quad 0 \leqq x \leqq \cfrac{1}{n} \quad より \quad e^0 \geqq e^{-x} \geqq e^{\scriptsize{- \cfrac{1}{n}}} \quad すなわち \quad e^{\scriptsize{- \cfrac{1}{n}}} \leqq e^{-x} \leqq 1$

(i)$\ \ e^{-x} \leqq 1 \quad より$
\begin{eqnarray*} A(m,n) &\leqq &(m+1)n^{m+1}\int _0^{\scriptsize{\cfrac{1}{n}}} x^m dx\\ \\ &=&(m+1)n^{m+1}\big[ \cfrac{x^{m+1}}{m+1}\big] _0^{\scriptsize{\cfrac{1}{n}}}\\ \\ &=&(m+1)n^{m+1} \times \cfrac{1}{(m+1)n^{m+1}}\\ \\ &=&1 \end{eqnarray*}
(ii)$\ \ e^{-x} \geqq e^{\scriptsize{- \cfrac{1}{n}}} \quad より$
\begin{eqnarray*} A(m,n) &\geqq &(m+1)n^{m+1}\int _0^{\scriptsize{\cfrac{1}{n}}} x^m e^{\scriptsize{- \cfrac{1}{n}}} dx\\ \\ &=&(m+1)n^{m+1} e^{\scriptsize{- \cfrac{1}{n}}} \int _0^{\scriptsize{\cfrac{1}{n}}} x^m dx\\ \\ &=&(m+1)n^{m+1} e^{\scriptsize{- \cfrac{1}{n}}} \big[\cfrac{x^{m+1}}{m+1}\big] _0^{\scriptsize{\cfrac{1}{n}}}\\ \\ &=&(m+1)n^{m+1} e^{\scriptsize{- \cfrac{1}{n}}} \times \cfrac{1}{(m+1)n^{m+1}}\\ \\ &=& e^{\scriptsize{- \cfrac{1}{n}}} \end{eqnarray*} $\quad $ (i),(ii) $より \quad e^{\scriptsize{- \cfrac{1}{n}}} \leqq A(m,n) \leqq 1$


(2)


$n \longrightarrow \infty \quad とすると \quad e^{\scriptsize{- \cfrac{1}{n}}} \longrightarrow e^0=1$

\[よって　はさみ打ちの原理により \quad b_m=\lim _{n \rightarrow \infty} A(m,n)=1\]

(3)


$部分積分をおこなって$
\begin{eqnarray*} A(m,n) &=&(m+1)n^{m+1}\big\{\big[\cfrac{x^{m+1}}{m+1}e^{-x} \big]_0^{\scriptsize{\cfrac{1}{n}}} + \int _0^{\scriptsize{\cfrac{1}{n}}} \cfrac{x^{m+1}}{m+1}e^{-x}dx\big\}\\ \\ &=&(m+1)n^{m+1}\big\{\cfrac{1}{(m+1)n^{m+1}}e^{\scriptsize{-\cfrac{1}{n}}} + \cfrac{1}{m+1}\int _0^{\scriptsize{\cfrac{1}{n}}} x^{m+1}e^{-x}dx\big\}\\ \\ &=&e^{\scriptsize{-\cfrac{1}{n}}} + n^{m+1}\int _0^{\scriptsize{\cfrac{1}{n}}} x^{m+1}e^{-x}dx\\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} 第2項 &\leqq & n^{m+1}\int _0^{\scriptsize{\cfrac{1}{n}}} x^{m+1}dx \hspace{5em}(\therefore \ \ e^{-x} \leqq 1)\\ \\ &=& n^{m+1} \big[\cfrac{x^{m+2}}{m+2}\big] _0^{\scriptsize{\cfrac{1}{n}}}\\ \\ &=& n^{m+1} \cdot \cfrac{1}{(m+2)n^{m+2}}\\ \\ &=& \cfrac{1}{(m+2)n}\\ \\ &\leqq& \cfrac{1}{m+2}\\ \end{eqnarray*}
$したがって \quad 0 < 第2項 \leqq \cfrac{1}{m+2}$

$\quad m \longrightarrow \infty \quad とすると \quad \cfrac{1}{m+2} \longrightarrow 0 $

$はさみ打ちの原理により \quad 第2項 \ \ \longrightarrow 0 $
\[よって \quad c_n=\lim _{m \rightarrow \infty} A(m,n)=e^{\scriptsize{-\cfrac{1}{n}}}\]


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