千葉大学(理系) 2022年 問題7
$x,\ y\ についての方程式$
$\hspace{8em} x^2-6xy+y^2=9 \hspace{5em} \cdots (*)$
$に関する次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ x,\ y\ がともに正の整数であるような \ (*)\ の解のうち、y\ が最小であるものを求めよ。$
$(2)\ \ 数列 \ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots \ \ が漸化式 \ \ a_{n+2} - 6a_{n+!} + a_n=0 \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \ \ を満たすとする。このとき、$
$\quad (x,\ y)=(a_{n+1},\ a_n)\ が \ (*)\ を満たすならば、(x,y)=(a_{n+2},\ a_{n+1})\ も \ (*)\ を満たすことを示せ。$
$(3)\ \ (*) の整数解は無数に存在することを示せ。$
$(解説)$
$(1)\ \ まともに計算しても求まりません。座標軸を原点の回りに \ 45°回転するとこの方程式のあらわす曲線の$
$\quad 様子がよくわかります。$
$(2)\ \ a_{n+1}^2 - 6a_{n+1}a_n + a_n^2=9\ \ と \ \ a_{n+2}-6a_{n+1} + a_n=0 \ \ から \ \ a_{n+2}^2-6a_{n+2}a_{n+1} + a_{n+1}^2=9\ \ を導きます。$
$(3)\ \ (2)の数列 \ \ \{a_n\}\ \ は単調増加であることと正の整数であることを示し、整数解が無数ることを示すには$
$\quad 背理法がいいでしょう。$
(1)
$x,\ y\ 座標軸を原点のまわりに \ 45°回転させた座標軸を \ X,\ Y\ とすると$
$\qquad (これについては($2次曲線の標準化$)をご覧ください。)$
$\quad x=X\cos 45°- Y\sin 45°=\cfrac{1}{\sqrt{2}}(X-Y),\qquad y=X\sin 45°+ Y\cos 45°=\cfrac{1}{\sqrt{2}}(X+Y)$
$これらを上式に代入して$
$\quad \cfrac{1}{2}(X-Y)^2-6 \times \cfrac{1}{2}(X-Y)(X+Y)+ \cfrac{1}{2}(X+Y)^2=9$
$\quad 2X^2-4Y^2=-9 $
$したがって、方程式 \ (*)\ は双曲線である。$
$x,\ y\ がともに正の整数であるような解のうち、$
$y\ が最小であるものをさがす。$
$\quad y\ 軸との交点は \quad y^2=9 \quad y > 0 \quad より \quad y=3$
$\quad ただし \quad x=0 \ \ は不適$
$ \quad y=1 \quad のとき \quad x^2-6x +1=9 \quad を解いて$
$ \quad x=3 \pm \sqrt{17} \quad これは不適$
$ \quad y=2 \quad のとき \quad x^2-12x +4=9 \quad を解いて$
$ \quad x=6 \pm \sqrt{41} \quad これは不適$
$ \quad y=3 \quad のとき \quad x^2-18x +9=9 \quad を解いて$
$ \quad x=0,\ \ 18$
$したがって \quad x,\ y\ がともに正の整数で、y\ が最小であるものは \quad (x,\ y)=(18,\ 3)$
(2)
$(x,\ y)=(a_{n+1},\ a_n)\ が \ (*)\ を満たすならば、a_{n+1}^2 - 6a_{n+1}a_n + a_n^2=9$
$このとき \quad a_{n+2}= 6a_{n+1} - a_n \quad だから$
\begin{eqnarray*} & &a_{n+2}^2-6a_{n+2}a_{n+1} + a_{n+1}^2\\ \\ &=&(6a_{n+1} - a_n)^2-6(6a_{n+1} - a_n) a_{n+1} + a_{n+1}^2\\ \\ &=&a_{n+1}^2 - 6a_{n+1}a_n + a_n^2\\ \\ &=&9 \end{eqnarray*}
$したがって \quad (x,\ y)=(a_{n+2},\ a_{n+1})\ も \ (*)\ を満たす。$
(3)
$数列 \ \ \{a_n\}\ \ は、a_1=3,\ \ a_2=18 、漸化式\ \ a_{n+2} - 6a_{n+1} + a_n =0 \ \ をみたすならば$
$すべての自然数 \ n\ について \quad a_n < a_{n+1} \ \ であることを数学的帰納法で示す。$
(i)$\ \ n=1 \quad のとき \quad a_1=3,\ \ a_2=18 \quad だから成りたつ。$
(ii)$\ \ n=2,\ 3,\ \cdots,\ k \quad のとき成りたつとすると$
\begin{eqnarray*} & &a_{k+2}-a_{k+1}\\ \\ &=&(6a_{k+1}-a_k)-a_{k+1}\\ \\ &=&5a_{k+1}-a_k\\ \\ &=&5(a_{k+1}-a_k)+4(a_k-a_{k-1})+4(a_{k-1}-a_{k-2})+ \cdots +4(a_2-a_1)+4a_1\\ \\ &>&0 \end{eqnarray*}
$よって \ \ n=k+1\ \ のときも成りたつ。$
(i),(ii)$より、すべての自然数 \ n\ について \quad a_n < a_{n+1}$
$これで、数列 \ \ \{a_n\}\ \ は \ \ a_n >0\ \ で単調増加であることが示された。$
$また、a_n,\ \ a_{n+1}\ \ がともに正の整数ならば \quad a_{n+2}=6a_{n+1}-a_n \quad より明らかに \ a_{n+2}\ は正の整数である。$
$次に、(*)\ の整数解が無数存在することを背理法で証明する。$
$もし、(*)\ の整数解が有限個とすると、最大数 \ a_n \ が存在して曲線 \ (*)\ 上に点 \ P_{n-1}(a_n,\ a_{n-1})\ がある。$
$すると,曲線 \ (*)\ 上に点 \ P_{n-1}(a_n,\ a_{n-1})\ があれば、(2)より点 \ P_n(a_{n+1},\ a_n)\ も曲線 \ (*)\ 上にあり、$
$a_n < a_{n+1} \ \ であるからこれは \ a_n \ が最大数であることに矛盾する。$
$したがって、(*)\ を満たす \ x,\ y\ が整数である格子点 \ (x,\ y)\ は無数存在することになり、(*)\ の整数解は$
$無数に存在する。$
$(補充)$
$x^2-6xy+y^2=9 \quad を \ y\ について解くと$
$y=3x \pm \sqrt{8x^2+9} \quad ですが、x > y \quad だから$
$点列 \ P_n\ がのっている曲線は右のグラフの$
$y=3x - \sqrt{8x^2+9} \quad です。$
$漸化式\ \ a_{n+2}-6a_{n+1} + a_n=0 \ \ から格子点のいくつかを計算してみると$
$\quad a_3=6a_2-a_1=6 \times 18-3=105 \quad より \quad P_2(105,18)$
$\quad a_4=6a_3-a_2=6 \times 105-18=612 \quad より \quad P_3(612,105)$
$\quad a_5=6a_4-a_3=6 \times 612-105=3567 \quad より \quad P_4(3567,612)$
$\quad a_6=6a_5-a_4=6 \times 3567-612=20790 \quad より \quad P_5(20790,3567)$
$\qquad \vdots $
$ここで、疑問がわきます。$
$格子点は、この漸化式ですべて求まるのでしょうか。漏れているのはないでしょうか。$
$そこで、Excel\ \ VBA \ \ で \ x=4 ～100000\ \ について \ y\ が整数になるかどうか計算したところ、格子点は$
$上の \ 5\ 個しかありませんでした。$
$では、なぜこの漸化式ですべての格子点が求まるのか考えてみましょう。$
$整数\ \ a_n,\ a_{n+1},\ a_{n+2}\ \ (a_n < a_{n+1} < a_{n+2})\ \ に対して、格子点 \ P_n (a_{n+1},\ a_n),\ \ P_{n+1}(a_{n+2},\ a_{n+1})\ を$
$単調増加な曲線 \ \ y=3x-\sqrt{8x^2+9}\ \ 上にとる。$
$点 \ P_n\ について \quad a_n=3a_{n+1}-\sqrt{8a_{n+1}^2+9} \quad だから \quad (3a_{n+1}-a_n)^2=8a_{n+1}^2+9 \qquad a_{n+1}^2-6a_{n+1}a_n+a_n^2=9$
$点 \ P_{n+1}\ について \quad a_{n+1}=3a_{n+2}-\sqrt{8a_{n+2}^2+9} \quad だから \quad (3a_{n+2}-a_{n+1})^2=8a_{n+2}^2+9 \qquad a_{n+2}^2-6a_{n+2}a_{n+1}+a_{n+1}^2=9$
$辺々引いて \quad a_{n+2}^2-6a_{n+2}a_{n+1}+6a_{n+1}a_n-a_n^2=0 \qquad (a_{n+2}-(6a_{n+1}-a_n))(a_{n+2} -a_n)=0 $
$a_{n+2} > a_n \quad だから \quad a_{n+2}-6a_{n+1}+a_n=0 \quad となって問題文にある漸化式が導かれます。$
$ですから、この漸化式をつかえばもれなく格子点が求まるわけです。$
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