千葉大学(理系) 2022年 問題5
$n\ を自然数とする。n\ 個のサイコロを同時に投げ、出た目の積を \ M\ とおく。$
$(1)\ \ M\ が \ 2\ でも \ 3\ でも割り切れない確率を求めよ。$
$(2)\ \ M\ が \ 2\ で割り切れるが、3\ でも \ 4\ でも割り切れない確率を求めよ。$
$(3)\ \ M\ が \ 4\ では割り切れるが、3\ では割り切れない確率を求めよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ M\ が \ 2\ でも \ 3\ でも割り切れないということはどのような目が出ればよいか考えます。$
$(2)\ \ M\ が \ 2\ で割り切れるが、4\ で割り切れないということはどういう目が出ればよいか考えます。$
$(3)\ \ M\ が \ 4\ では割り切れるということはどいうことか考えますが、かなり込み入っています。$
(1)
$M\ が \ 2\ で割り切れないならば、2,\ 4,\ 6\ の目が出ない。$
$M\ が \ 3\ で割り切れないならば、3,\ 6\ の目が出ない。$
$したがって、2,\ 3,\ 4,\ 6\ の目が出ないから、出る目は \ n\ 個とも \ 1,\ 5$
$よって、求める確率は \quad P=\big(\cfrac{2}{6}\big)^n=\big(\cfrac{1}{3}\big)^n$
(2)
$M\ が \ 3\ で割り切れないならば、3,\ 6\ の目が出ない。$
$M\ が \ 2\ で割り切れるが、4\ で割り切れないから、2を1個のみ含み、4\ の目が出ない。$
$したがって、2\ が \ 1\ 個出て、残りは \ 1,\ 5\ の目が出ればよい。$
$2\ の目の出かたはサイコロの個数の \ n\ 通りあるから、$
$求める確率は \quad P=n \times \cfrac{1}{6} \times \big(\cfrac{2}{6}\big)^{n-1}=\cfrac{n}{2} \big(\cfrac{1}{3}\big)^n$
(3)
$M\ が \ 3\ で割り切れないから、3,\ 6\ の目が出ない。$
$4\ が \ 1\ 個以上でる事象を \ A\ とおくと、\overline{A} \ \ は \ 4\ が出ない事象である。$
$2\ が \ 2\ 個以上でる事象を \ B\ とおくと、\overline{B} \ \ は \ 2\ が \ 0\ 個か \ 1\ 個出る事象である。$
$M\ が \ 4\ で割り切れる事象は$
$\quad 4\ が \ 1\ 個以上出る場合と4\ が出ないが \ 2\ が \ 2\ 個以上出る場合$
$の \ 2\ 通りの事象がある。$
$これらの事象は、右の集合図で、$
$\quad 全体の \ \ A \cup \overline{A} \ \ (B \cup \overline{B}\ でも同じ)\ \ から$
$\quad 斜線部分の \ \ \overline{A} \cap \overline{B}\ \ を除いた事象である。$
$全体の確率は、A と\overline{A}\ \ は互いに排反であるから、3,\ 6\ を含まない確率で、\big(\cfrac{4}{6}\big)^n=\big(\cfrac{2}{3}\big)^n$
$斜線部分の \ \ \overline{A} \cap \overline{B}\ \ は \ 4\ を含まず$
(i)$\ \ 2\ が \ 0\ 個の事象 \quad この事象は目が \ 1,\ 5\ のみだから確率は \quad \big(\cfrac{1}{3}\big)^n$
(ii)$\ \ 2\ が \ 1\ 個の事象 \quad この確率は(2)より \quad \cfrac{n}{6} \times \big(\cfrac{1}{3}\big)^{n-1}=\cfrac{n}{2}\big(\cfrac{1}{3}\big)^n$
$よって、求める確率は$
$\quad P=\big(\cfrac{2}{3}\big)^n -\big(\cfrac{1}{3}\big)^n -\cfrac{n}{2}\big(\cfrac{1}{3}\big)^n
=\big(\cfrac{2}{3}\big)^n -\big(\cfrac{n}{2}+1\big)\big(\cfrac{1}{3}\big)^n$
メインメニュー に戻る