千葉大学(理系) 2022年 問題4
$0\ 以上 \ 9999\ 以下の整数を \ 4\ 桁で表示し、以下の操作を行うこととする。ただし、4\ 桁で表示するとは、$
$整数が \ 100\ 以上 \ 999\ 以下の場合は千の位の数字を \ 0,\ 10\ 以上 \ 99\ 以下の場合は千の位と百の位の数字を \ 0、$
$1\ 以上 \ 9\ 以下の場合は千の位と百の位と十の位の数字を \ 0、そして \ 0\ はどの位の数字も \ 0\ とすることである。$
$\quad 操作：千の位の数字と十の位の数字を入れ換える。さらに、百の位の数字と一の位の数字を入れ換える。$
$また、整数 \ L\ に対し、操作によって得られた整数を \ \overline{L}\ と表す。$
$(1)\ \ M\ を \ 0\ 以上 \ 9999\ 以下の整数とし、M=100x + y\ のように整数 \ x,\ y\ \ (0 \leqq x \leqq 99,\ \ 0 \leqq y \leqq 99)\ を用いて$
$\quad 表す。操作によって得られた \ \overline{M}\ が \ M\ の \ \cfrac{2}{3}\ 倍に \ 3\ を足した数に等しいならば、-197x+298y=9 \ \ が$
$\quad 成り立つことを証明せよ。$
$(2)\ \ Nが\ 0\ 以上 \ 9999\ 以下の整数ならば、操作によって得られた整数 \ \overline{N}\ は \ N\ の \ \cfrac{2}{3}\ 倍に \ 1\ を足した数と$
$\quad 等しくならないことを証明せよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ \overline{M} をx,yで表します。わかりにくい場合は、各位の数字を \ a,\ b,\ c,\ d\ とおいて考えましょう。$
$(2)\ \ N\ について(1)と同様にして、x,\ y\ についての方程式を導きます。その解が \ x,\ y\ の条件を満たさないことを$
$\quad 示します。$
(1)
$M=100x +y \quad に対して \quad \overline{M}=100y+x \quad となる。$
$\overline{M}\ は \ M\ の \ \cfrac{2}{3}\ 倍に \ 3\ を足した数に等しいから$
$100y+x=\cfrac{2}{3}(100x+y)+3$
$300y+3x=200x+2y+9$
$\therefore \ \ -197x+298y=9 $
(2)
$\overline{N}\ は \ N\ の \ \cfrac{2}{3}\ 倍に \ 1\ を足した数に等しいとすると$
$100y+x=\cfrac{2}{3}(100x+y)+1 \quad をみたす整数 \ x,\ y \ \ (0 \leqq x \leqq 99, \ \ 0 \leqq y \leqq 99)\ \ が存在する。$
$\therefore \ \ -197x+298y=3 \hspace{10em}①$
$まず、-197x+298y=1 \quad の整数解をユークリッドの互除法により求める。$
$\quad 298=197 \times 1 +101$
$\quad 197=101 \times 1 +96$
$\quad 101=96 \times 1 +5$
$\quad 96=5 \times 19 +1$
$余りが \ 1\ となったので、197 \ と \ 298\ の最大公約数は \ 1、すなわち互いに素である。$
$次に、これを利用して整数解を求める。$
\begin{eqnarray*} \quad 1 &=&96-5 \times 19\\ &=&96-(101-96 \times 1 ) \times 19\\ &=&96 \times 20 -101 \times 19\\ &=&(197-101 \times 1) \times 20 -101 \times 19\\ &=&197 \times 20 -101 \times 39\\ &=&197 \times 20 -(298 - 197 \times 1) \times 39\\ &=&197 \times 59 - 298 \times 39\\ \end{eqnarray*} $よって \quad -197 \times (-59) + 298 \times (-39)=1$
$両辺を3倍して \quad -197 \times (-177) + 298 \times (-117)=3 \hspace{5em}②$
$①-②より \quad -197 \times (x+177) + 298 \times (y+117)=0$
$197 \ と \ 298\ は互いに素だから \quad x+177=298k ,\quad y+117=197k \ \ (k は整数)\ とおける。$
$x=-177 +298k,\quad y=-117+197k$
(i)$\ \ k \leqq 0 \ \ のとき \quad x < 0,\ \ y < 0 \ \ となって不適$
(ii)$\ \ k=1 \ \ のとき \quad x=121,\quad y=80 \quad で、y\ は \ 0 \leqq y \leqq 99 \ \ をみたすが、x\ は \ \ 0 \leqq x \leqq 99\ \ をみたさない。$
(iii)$\ \ k \geqq 2 \ \ のとき \quad x > 99,\ \ y > 99\ \ となって不適$
$よって \quad 100y+x=\cfrac{2}{3}(100x+y)+1 \quad をみたす整数 \ x,\ y\ \ (0 \leqq x \leqq 99,\ \ 0 \leqq y \leqq 99)\ \ が存在しないので$
$\overline{N}\ は \ Nの \ \cfrac{2}{3}\ 倍 \ に\ 1\ を足した数と等しくならない。$
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