千葉大学(理系) 2020年　問題2


$四面体ABCDにおいて、AB^2+CD^2=BC^2+AD^2=AC^2+BD^2、\angle ADB=90° \ が成り立っている。$
$三角形ABCの重心をGとする。$
$\ (1)\ \ \angle BDC \ を求めよ。$
$\ (2)\ \ \cfrac{\sqrt{AB^2+CD^2}}{DG} \ の値を求めよ。$


$(解説)$

$(1)\ \ \angle BDC=90°だけでなく \ \ \angle BDC=90°も求めておくことがポイントです。$
$(2)\ \ (1)より、3つの線分が直交することからベクトルの内積を使って求めてもいいし、座標軸を$
$\qquad 設定して求めることもできます。$

(1)

　
$AD=a,\ \ BD=b,\ \ CD=c,\ \ AB=d,\ \ BC=e,\ \ AC=f \ \ とおく。$

$AB^2+CD^2=BC^2+AD^2=AC^2+BD^2 \quad より$
$d^2+c^2=e^2+a^2=f^2+b^2 $

$\angle ADB=90°より　d^2=a^2+b^2 \quad これを$
(i)$\ \ d^2+c^2=e^2+a^2 \quad に代入すると$
$\qquad (a^2+b^2)+c^2=e^2+a^2$
$\qquad b^2+c^2=e^2$
$\qquad よって \quad \triangle BCD \ において \quad \angle BDC=90°$


$さらに$
(ii)$\ \ d^2+c^2=f^2+b^2 \quad に代入すると$
$\qquad (a^2+b^2)+c^2=f^2+b^2$
$\qquad a^2+c^2=f^2$
$\qquad よって　\triangle ACD において　\angle ADC=90°$

　

(2)


$(1)の結論を加味して、あらためて書き直すしたものが右図です。$

$線分DA,DB,DCは互いに直交するからそれらの上の単位ベクトル$
$(基本ベクトル)をそれぞれ \ \vec{e_1},\ \ \vec{e_2},\ \ \vec{e_3}\ \ とおくと$

$\vec{DA}=a\vec{e_1},\quad \vec{DB}=b\vec{e_2},\quad \vec{DC}=c\vec{e_3}\quad とおける。$
$AB^2=|\vec{AB}|^2=|\vec{DB}-\vec{DA}|^2=|b\vec{e_2}-a\vec{e_1}|^2=b^2|\vec{e_2}|^2+a^2|\vec{e_1}|^2-2ab\vec{e_1}\cdot \vec{e_2}=a^2+b^2$

$CD^2=|\vec{CD}|^2=|-\vec{DC}|^2=|-c\vec{e_3}|^2=c^2|\vec{e_3}|^2=c^2$

$点Gは三角形ABCの重心だから$
\begin{eqnarray*} DG &=&|\cfrac{1}{3}(\vec{DA}+\vec{DB}+\vec{DC})|\\ &=&\cfrac{1}{3}\sqrt{|\vec{DA}+\vec{DB}+\vec{DC}|^2}\\ &=&\cfrac{1}{3}\sqrt{|a\vec{e_1}+b\vec{e_2}+c\vec{e_3}|^2}\\ &=&\cfrac{1}{3}\sqrt{ a^2|\vec{e_1}|^2+b^2|\vec{e_2}|^2+c^2|\vec{e_3}|^2+ 2ab\ \vec{e_1}\cdot \vec{e_2}+2bc\ \vec{e_2}\cdot \vec{e_3}+2ca\ \vec{e_3}\cdot \vec{e_1}}\\ &=&\cfrac{1}{3}\sqrt{ a^2+b^2+c^2}\\ \end{eqnarray*}
$したがって$

$\qquad \cfrac{\sqrt{AB^2+CD^2}}{DG}=\cfrac{\sqrt{(a^2+b^2)+c^2}}{\cfrac{1}{3}\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=3$


$(別解)$

$点Dを原点とし、線分DA,\ DB,\ DC\ をそれぞれ延長して \ x軸、y軸,z軸\ とする。$

$A(a,0,0),\ \ B(0,b,0),\ \ C(0,0,c)\quad だから \quad G(\cfrac{a}{3},\ \cfrac{b}{3},\ \cfrac{c}{3})$

$\cfrac{\sqrt{AB^2+CD^2}}{DG}=\cfrac{\sqrt{(a^2+b^2)+c^2}}{\cfrac{1}{3}\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=3$


$座標表示といっても、ベクトルの成分表示と同じですから、ほとんど変わりません。$



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