千葉大学(理系) 2019年　問題5


$nを正の整数とする。$
\[(1)\ \ \int _0^{\small{\cfrac{\pi}{3}}} \tan ^n \theta \ d\theta +\int _0^\cfrac{\pi}{3} \tan ^{n+2} \theta \ d\theta \quad をnの式で表せ。\] \[(2)\ \ \int _0^{\small{\cfrac{\pi}{3}}} \tan ^7 \theta \ d\theta \quad を求めよ。\]


$(解説)$

\[(1)\ \ \int _0^{\small{\cfrac{\pi}{3}}} \tan ^n \theta \ d\theta \quad の漸化式を導かせる問題です。\] $\qquad (2)\ \ 初期値を求めて、順次計算して求めます。$


(1)

\begin{eqnarray*} J_n &=&\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{3}}} \tan ^n \theta \ d\theta +\int _0^\cfrac{\pi}{3} \tan ^{n+2} \theta \ d\theta \\ &=&\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{3}}} (\tan ^n \theta + \tan ^{n+2} \theta )\ d\theta \\ &=&\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{3}}} (1+\tan ^2 \theta ) \tan ^{n} \theta \ d\theta \\ &=&\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{3}}} \cfrac{\tan ^{n} \theta}{\cos ^2 \theta }\ d\theta \\ \end{eqnarray*} \[ \tan \theta =t \quad とおくと \quad \cfrac{d\theta}{\cos ^2 \theta}=dt \qquad \begin{array}{c|c} \theta & \ 0\ \ \rightarrow \small{\cfrac{\pi}{3}} \quad \\ \hline t & \ 0\ \ \rightarrow \sqrt{3} \\ \end{array} \]
\[J_n=\int _0^{\sqrt{3}}t^n \ dt=\big [\cfrac{t^{n+1}}{n+1}\big ]_0^{\sqrt{3}}=\cfrac{\sqrt{3}^{n+1}}{n+1}\]

(2)


\[I_n=\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{3}}} \tan ^n \theta \ d\theta \quad とおくと\] $\qquad I_n + I_{n+2}=\cfrac{\sqrt{3}^{n+1}}{n+1} \quad より \quad I_{n+2}=\cfrac{\sqrt{3}^{n+1}}{n+1}-I_n$

\[I_1=\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{3}}} \tan \theta \ d\theta=\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{3}}} \cfrac{\sin \theta}{\cos \theta}\ d\theta =\big[-\log \cos \theta\big]_0^{\small{\cfrac{\pi}{3}}} =-\log \cfrac{1}{2}=\log 2 \quad だから\]
$上の漸化式をつかって順次求めると$

$I_3=\cfrac{\sqrt{3}^2}{2}-I_1=\cfrac{3}{2}-\log 2$

$I_5=\cfrac{\sqrt{3}^4}{4}-I_3=\cfrac{9}{4}-(\cfrac{3}{2}-\log 2)=\cfrac{3}{4}+\log 2$

$I_7=\cfrac{\sqrt{3}^6}{6}-I_5=\cfrac{27}{6}-(\cfrac{3}{4}+\log 2)=\cfrac{15}{4}-\log 2$


$(補足1)$

\[I_0=\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{3}}} d\theta=\cfrac{\pi}{3} \quad だから\]
$\quad I_2=\sqrt{3}-I_0=\sqrt{3}-\cfrac{\pi}{3}$

$\quad I_4=\cfrac{\sqrt{3}^3}{3}-I_2=\sqrt{3}-(\sqrt{3}-\cfrac{\pi}{3})=\cfrac{\pi}{3}$

$\quad I_6=\cfrac{\sqrt{3}^5}{5}-I_4=\cfrac{9\sqrt{3}}{5}-\cfrac{\pi}{3}$

$\qquad \vdots $


$(補足2)$

\[I_n=\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}} \tan ^n \theta \ d\theta \quad については\]
$\quad I_{n+2}=\cfrac{1}{n+1}-I_n 　\quad I_0=\cfrac{\pi}{4} ,\quad I_1=\cfrac{1}{2}\log 2 \quad となります。$



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