千葉大学(理系) 2026年　問題 8


$曲線 \ y=\sin x \ \ (0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2})\ , y\ 軸、および直線 \ y=1\ で囲まれた図形を \ D\ とする。また、t\ を実数として、$
$D\ を直線 \ x=t\ のまわりに \ 1\ 回転させてできる立体の体積を \ V\ とおく。$
$(1)\ \ 0 \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{2} \ \ のとき、V\ を \ t\ の式で表せ。$
$(2)\ \ t\ が \ \ 0 \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{2} \ \ の範囲を動くとき、V\ が最小となる \ t\ の値がただ \ 1\ つであることを示せ。$

(1)

　

$図形 \ D\ は右図のとおり$

$D\ を直線 \ x=t\ のまわりに \ 1\ 回転させてできる立体は$

$次の\ 2\ 通りがある。$

$回転体の体積は、計算が比較的簡単な、いわゆる$

$「バームクーヘン型積分法」で求めることとする。$

$このことについては($バームクーヘン分割の回転体の体積$)を参考にしてください。$

(i)$\ \ 0 < t < \dfrac{\pi}{4} \ \ のとき$

$0 \leqq x \leqq t \ \ の部分の回転体の体積を \ V_1, \ \ 2t \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\ \ の部分を \ V_2 \ とする。$

　

\begin{eqnarray*} V_1 &=&2\pi \int_0^t (t-x)(1-\sin x)dx\\ \\ &=&2\pi \big[(t-x)(x+\cos x)\big]_0^t + 2\pi \int_0^t (x+\cos x)dx\\ \\ &=&-2\pi t + 2\pi \big[\dfrac{x^2}{2}+\sin x\big]_0^t\\ \\ &=&-2\pi t + 2\pi\big(\dfrac{t^2}{2} + \sin t \big)\\ \\ &=&2\pi(\dfrac{t^2}{2} -t + \sin t \big)\\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} V_2 &=&2\pi \int_{2t}^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}(x-t)(1-\sin x)dx\\ \\ &=&2\pi \big[(x-t)(x+\cos x)\big]_{2t}^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} -2\pi \int_{2t}^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}(x+\cos x)dx\\ \\ &=&2\pi \big((\dfrac{\pi}{2} -t) \times \dfrac{\pi}{2} -t(2t+\cos 2t)\big) -2\pi \big[\dfrac{x^2}{2} + \sin x \big]_{2t}^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} \\ \\ &=&\pi^2 (\dfrac{\pi}{2} -t )-2\pi t(2t+\cos 2t)-2\pi\big(\dfrac{\pi^2}{8}+1-2t^2-\sin 2t\big)\\ \\ &=&\dfrac{\pi^3}{2}-\pi^2 t -4\pi t^2 -2\pi t\cos 2t -\dfrac{\pi^3}{4}-2\pi +4\pi t^2+2\pi \sin 2t\\ \\ &=&\dfrac{\pi^3}{4}-2\pi -\pi^2 t -2\pi t\cos 2t + 2\pi \sin 2t\\ \end{eqnarray*} $よって$
\begin{eqnarray*} V &=&V_1+V_2\\ \\ &=&2\pi(\dfrac{t^2}{2} -t + \sin t \big)+\dfrac{\pi^3}{4}-2\pi -\pi^2 t -2\pi t\cos 2t + 2\pi \sin 2t\\ \\ &=&\pi t^2 -2\pi t + \dfrac{\pi^3}{4} -2\pi -\pi^2 t +2\pi \sin t -2\pi t \cos 2t + 2\pi \sin 2t\\ \end{eqnarray*}
(ii)$\ \ \dfrac{\pi}{4} \leqq t < \dfrac{\pi}{2} \ \ のとき$

$V\ は、y\ 軸,\ \ x=t,\ \ x\ 軸、\ \ y=1\ \ で囲まれた長方形を回転させてできる円柱から、$

$y=\sin x\ \ の \ \ 0 \leqq x \leqq t \ \ の部分の回転体の体積を除いて$

　

\begin{eqnarray*} V &=&\pi t^2 \times 1 -2\pi \int_0^t (t-x)\sin xdx\\ \\ &=&\pi t^2 -2\pi \big[(t-x)(-\cos x)\big]_0^t + 2\pi \int_0^t \cos xdx\\ \\ &=&\pi t^2 -2\pi t + 2\pi \big[ \sin x\big]_0^t \\ \\ &=&\pi t^2 -2\pi t + 2\pi \sin t \\ \end{eqnarray*}

(2)


$必要に応じて、V=V(t) \ とかくことにする。$

(i)$\ \ 0 < t < \dfrac{\pi}{4} \ \ のとき$

\begin{eqnarray*} V' &=&2\pi t - 2\pi -\pi^2 +2\pi \cos t -2\pi \cos 2t + 4\pi t \sin 2t + 4\pi \cos 2t\\ \\ &=&2\pi t -2\pi -\pi^2 +2\pi \cos t +2\pi \cos 2t + 4\pi t \sin 2t \\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} V'' &=&2\pi - 2\pi \sin t - 4\pi \sin 2t + 4\pi \sin 2t +8\pi t \cos 2t\\ \\ &=&2\pi - 2\pi \sin t + 8\pi t \cos 2t\\ \\ &=&2\pi(1 - \sin t) + 8\pi t \cos 2t\\ \end{eqnarray*}
$\ \ 0 < t < \dfrac{\pi}{4} だから　0 < 2t < \dfrac{\pi}{2} \quad \therefore \ \ \cos 2t >0$

$よって \ \ V'' > 0\ \ だから \quad V'(t)\ は単調増加$

$V'(0)=-2\pi -\pi^2+2\pi+2\pi=-\pi^2+2\pi=-\pi(\pi -2) <0$

$V'(\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\pi^2}{2}-2\pi-\pi^2+\sqrt{2}\pi+\pi^2=\dfrac{\pi^2}{2}-2\pi +\sqrt{2}\pi=\dfrac{\pi}{2}(\pi + 2\sqrt{2}-4)>0$

$V'(t) は連続関数だから中間値の定理により \ \ V'(\alpha)=0 \ \ となる \ \alpha \ が 区間\ (0,\ \dfrac{\pi}{4})\ に$

$少なくとも \ 1\ つ存在するが、V'(t)\ は単調増加だから \ \alpha \ はただ \ 1\ つである。$

$したがって \quad 0 < t < \alpha \ \ では \ \ V'(t) < 0,\quad \alpha < t < \dfrac{\pi}{4} \ \ では \ \ V'(t) > 0 $

$よって \quad V(t)\ は \ t=\alpha \ \ で極小である。$

(ii)$\ \ \dfrac{\pi}{4} < t < \dfrac{\pi}{2}\ \ のとき$

$V'=2\pi t - 2\pi + 2\pi \cos t $

$V''=2\pi - 2\pi \sin t =2\pi(1-\sin t) > 0$

$V'(t) \ は単調増加$

　

$V'(\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\pi^2}{2}-2\pi +\sqrt{2}\pi=\dfrac{\pi}{2}(\pi +2\sqrt{2}-4)>0$

$V'(t) > 0\ \ だから \ V(t)\ は単調増加$

(i),(ii)$\ \ より、t\ が \ \ 0 \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{2} \ \ の範囲を動くとき、$

$V\ が最小となる \ t\ の値は \ t=\alpha \ \ ただ \ 1\ つである。$


$参考までに、右図は、グラフ作成ソフトで描いた\ V(t)\ のグラフである。$


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