千葉大学(理系) 2026年　問題 6


$n\ を \ 5\ 以上の整数とする。xy\ 平面の点で \ x\ 座標と \ y\ 座標がともに \ 1\ 以上 \ n\ 以下の整数であるもの全体を$
$A\ で表す。A\ から異なる \ 2\ 点 \ P,\ Q\ を無作為に選ぶ。$
$(1)\ \ PQ=1 \ \ となる確率を求めよ。$
$(2)\ \ P=(3,\ 3)\ のとき、PR=QR=1\ \ となる \ A\ の点 \ R\ が存在する条件付き確率を求めよ。$
$(3)\ \ PR=QR=1\ \ となる \ A\ の点 \ R\ が存在する確率を求めよ。$


(1)


(i)$\ \ P=(1,\ 1)\ \ のとき,Q\ の選び方は$

$\quad (2,\ 1),\ \ (1,\ 2)\ の \ 2\ 個$

$\quad 同様に、P=(n,\ 1),\ \ (1,\ n),\ \ (n,\ n)\ のときも$

$\quad それぞれ \ 2\ 個$

　

(ii)$\ \ P=(2,\ 1)\ のとき,Q\ の選び方は$

$\quad (3,\ 1),\ \ (2,\ 2),\ (1,\ 1)\ の \ 3\ 個$

$\quad 同様に$

$\quad P=(3,\ 1),\ \ (4,\ 1),\cdots ,\ (n-1,\ 1)$

$\quad P=(1,\ 2),\ \ (1,\ 3),\cdots ,\ (1,\ n-1)$

$\quad P=(n,\ 2),\ \ (n,3),\cdots ,(n,\ n-1)$

$\quad P=(2,\ n),\ \ (3,\ n),\cdots ,(n-1,\ n)$

$\quad のときもそれぞれ \ 3\ 個$

(iii)$\ \ $(i),(ii)$\ \ 以外のときQの選び方はすべて4 \ 個\ $

$右図は、P\ ごとの、とれる \ Q\ の個数をまとめたものである。$

$よって\ Q\ の個数は全部で$
\begin{eqnarray*} & &2 \times 4 + 3 \times (n-2) \times 4 + 4 \times (n-2)^2\\ \\ &=&8+12(n-2)+4(n-2)^2\\ \\ &=&4\big((n-2)^2+3(n-2)+2\big)\\ \\ &=&4(n^2-n)\\ \\ &=&4n(n-1) \end{eqnarray*} $異なる \ 2\ 点 \ P,\ Q\ の選びかたは \quad {}_{n^2}P_2=n^2(n^2-1) \ \ だから$

$PQ=1 \ \ となる確率は \quad P=\dfrac{4n(n-1)}{n^2(n^2-1)}=\dfrac{4}{n(n+1)}$


(2)

　

$P(3,\ 3)\ に対して右図のように$

(i)$\ \ Q(4,\ 4)\ をとると \ R(4,\ 3)\ あるいは \ R(3,\ 4)\ がとれて$

$\quad PR=QR=1\ をみたす$

(ii)$\ \ Q(2,\ 4)\ をとると \ R(3,\ 4)\ あるいは \ R(2,\ 3)\ がとれて$

$\quad PR=QR=1 \ をみたす$

(iii)$\ \ Q(2,2)\ をとると \ R(2,\ 3)\ あるいは \ R(3,\ 2)\ がとれて$

$\quad PR=QR=1\ をみたす$

(iv)$\ \ Q(4,\ 2)\ をとると \ R(3,\ 2)\ あるいは \ R(4,\ 3)\ がとれて$

$\quad PR=QR=1\ をみたす$

(v)$\ \ Q(5,\ 3)\ をとると \ R(4,\ 3)\ がとれて \ PR=QR=1\ をみたす$

(vi)$\ \ Q(3,\ 5)\ をとると \ R(3,\ 4)\ がとれて \ PR=QR=1\ をみたす$

(vii)$\ \ Q(1,\ 3)\ をとると \ R(2,\ 3)\ がとれて \ PR=QR=1\ をみたす$

(viii)$\ \ Q(3,\ 1)\ をとると \ R(3,\ 2)\ がとれて \ PR=QR=1\ をみたす$

$したがって、P=(3,\ 3)\ のとき、PR=QR=1\ \ となる \ 点 \ R\ が存在するのはこの \ 8\ 個である。$

$2\ 点P,\ Q\ の選び方は、P(3,\ 3)\ が固定されているので、全部で \ \ n^2-1 \ 通り$

$よって求める条件付き確率 \ P\ は \quad P=\dfrac{8}{n^2-1}$


(3)

　

$(2)における\ P(3,\ 3)\ から \ A\ の任意の点に拡張された$

$問題である。$

$したがって、(2)の\ 8\ 個の点が、A\ の各点でいくつ$

$引っかかるか調べればよい。$

$例えば \ P=(1,\ 1)\ のとき,Q\ の選び方は$

$(3,\ 1),\ \ (2,\ 2),\ \ (1,\ 3)\ の \ 3\ 個である。$

$右図は、P\ ごとの、とれる \ Q\ の個数をまとめた$

$ものである。$

$この表をもとに、\ Q\ の個数 \ N\ は全部で$
\begin{eqnarray*} N &=&3 \times 3+4 \times 8 +5 \times (n-4) \times 4+6 \times 4+\\ \\ & &\qquad 7 \times (n-4) \times 4 + 8 \times (n-4)^2\\ \\ &=&8n^2-16n+4\\ \end{eqnarray*} $異なる \ 2\ 点 \ P,\ Q\ の選びかたは \quad {}_{n^2}P_2=n^2(n^2-1) \ \ だから$

$PR=QR=1\ \ となる \ A\ の点 \ R\ が存在する確率 \ P\ は$

$P=\dfrac{4(2n^2-4n+1)}{n^2(n^2-1)}$


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