千葉大学(理系) 2026年　問題 5


\[正の整数 \ n\ に対して、関数 \ f_n(x)\ を \ \ f_n(x)=e^{-x}x^n \ \ とおく。以下では、\lim_{x \rightarrow \infty} f_n(x)=0 \ \ であることは証明\] $せずに用いてよい。$
$(1)\ \ n \geqq 2 \ \ とする。 x > 0 \ の範囲において、関数 \ f_n(x)\ の最大値、およびそのグラフの全ての変曲点の \ x\ 座標$
$\quad を求めよ。$
\[(2)\ \ 正の実数 \ r\ に対して \quad a_n=\int_0^r f_n(x)dx \ \ とおくとき、数列 \ \{a_n\}\ の漸化式を求めよ。\] \[(3)\ \ (2)の \ a_n\ を \ a_n(r)\ と書くとき、極限 \ \ \lim_{r \rightarrow \infty} a_n(r)\ \ を求めよ。\]


(1)


$f_n(x)=e^{-x}x^n \ \ より$

$f_n'(x)=-e^{-x}x^n + ne^{-x}x^{n-1}=-e^{-x}x^{n-1}(x-n)$

\begin{eqnarray*} f_n''(x) &=&e^{-x}x^n - ne^{-x}x^{n-1}-ne^{-x}x^{n-1} + n(n-1)e^{-x}x^{n-2}\\ \\ &=&e^{-x}x^n - 2ne^{-x}x^{n-1} + n(n-1)e^{-x}x^{n-2}\\ \\ &=&e^{-x}x^{n-2}\big(x^2-2nx+n(n-1)\big) \end{eqnarray*} $f_n'(x)=0\ \ より \quad x=n$

$f_n''(x)=0 \ \ より \quad x=n \pm \sqrt{n^2-n(n-1)}=n \pm \sqrt{n}$

$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x& 0 & \cdots & n-\sqrt{n} & \cdots & n & \cdots & n+\sqrt{n} & \cdots \\ \hline f_n'(x)& & + & + & + & 0 & - & - & - \\ \hline f_n''(x)& & + & 0 & - & - & - & 0 & + \\ \hline f_n(x)& 0 & \nearrow & 変曲点 & \nearrow & 極大 & \searrow & 変曲点 & \searrow \\ & & 下に凸 & & 上に凸 & & 上に凸 & & 下に凸 \\ \end{array} \]

　

$x=n で極大かつ最大となり、最大値は$

$f(n)=e^{-n}n^n=\big(\dfrac{n}{e}\big)^n$

$変曲点の \ x\ 座標は \quad x=n \pm \sqrt{n}$

$右図は、参考までに \ \ f_3(x)\ \ のグラフである。$


(2)


\[a_1=\int_0^r e^{-x}xdx=\big[-e^{-x}x\big]_0^r+\int_0^re^{-x}dx=-re^{-r} -\big[e^{-x}\big]_0^r=-re^{-r}-e^{-r}+1=1-(r+1)e^{-r}\]
\[a_n=\int_0^r e^{-x}x^ndx=\big[-e^{-x}x^n\big]_0^r+ n\int_0^re^{-x}x^{n-1}dx=-e^{-r}r^n +na_{n-1}\]
$よって漸化式は \quad a_n=-e^{-r}r^n + na_{n-1}$


(3)


\begin{eqnarray*} a_n &=&-e^{-r}r^n + na_{n-1}\\ \\ &=&-e^{-r}r^n + n\big\{-e^{-r}r^{n-1}+ (n-1)a_{n-2}\big\}\\ \\ &=&-e^{-r}r^n - ne^{-r}r^{n-1}+ n(n-1)a_{n-2}\\ \\ &=&-e^{-r}r^n - ne^{-r}r^{n-1}+ n(n-1)\big\{-e^{-r}r^{n-2}+ (n-2)a_{n-3}\big\}\\ \\ &=&-e^{-r}r^n - ne^{-r}r^{n-1}- n(n-1)e^{-r}r^{n-2}+ n(n-1)(n-2)a_{n-3}\\ \\ & & \hspace{10em} \vdots \\ \\ &=&-e^{-r}\big(r^n + nr^{n-1}+ n(n-1)r^{n-2}+ \cdots + n(n-1)(n-2) \cdots 3 r^2\big) + n(n-1)(n-2)\cdots 2a_1\\ \\ &=&-e^{-r}\big(r^n + nr^{n-1}+ n(n-1)r^{n-2}+ \cdots + n(n-1)(n-2) \cdots 3 r^2\big) + n(n-1)(n-2)\cdots 2\big(1-(r+1)e^{-r}\big)\\ \end{eqnarray*} \[ここで、任意の整数 \ n\ に対して、\lim_{r \rightarrow \infty}e^{-r}r^n=0 \ \ だから\] \[\lim_{r \rightarrow \infty}a_n(r)=n(n-1)(n-2) \cdots 2\cdot 1=n!\]

$(参考)$

\[\Gamma(s)=\int_0^{\infty} e^{-s} x^{s-1} \ \ (s > 0) \ \ は収束し、これを「ガンマ関数」といい、次のような性質があります。\]
$このことについては($ベータ関数とガンマ関数$)を参考にしてください。$


(i)$\ \ \Gamma(s+1)=s\Gamma(s)\ \ (s > 0)$

(ii)$\ \ \Gamma(n+1)=n! \ \ (n\ は正の整数)$

(iii$\ \ \Gamma(1)=1$

(iv)$\ \ \Gamma \big(\dfrac{1}{2}\big)=\sqrt{\pi}$


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