千葉大学(理系) 2026年　問題4(3)


$空間内の \ 2\ つの平面 \ \ x-y=0,\ \ z-1=0\ \ の交線を \ \ell_1 \ とし、2\ つの平面 \ \ x-2y=0,\ \ x-2z+2=0 \ \ の交線$
$を \ \ell_2\ とする。2\ つの直線 \ \ell_1\ と \ \ell_2 \ の交点、およびそれらのなす角 \ \theta\ を求めよ。ただし、0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2} \ \ とする。$


$\ell_1 \ 上の点 \ P\ は \ \ x=t\ \ とおくと \ \ P(t,\ t,\ 1)\ \ とおける。$

$\ell_2 \ 上の点 \ Q\ は \ \ y=\dfrac{x}{2}, \ \ z=\dfrac{x}{2}+1 \ \ より \ \ x=2u \ \ とおくと \ \ Q(2u,\ u,\ u+1)\ \ とおける。$

$2\ 直線 \ \ell_1\ と \ \ell_2 \ の交点は \ \ P=Q \ \ のときだから$

\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} 2u=t \\ u=t \\ u+1=1 \\ \end{array} \right. \]
$これを解いて \quad u=t=0$

$よって交点は \ \ P(0,\ 0,\ 1)$

　

$直線 \ \ell_1\ の方向ベクトル \ \ \vec{d_1}\ は$

$x=y,\ \ z=1\ \ より \quad \vec{d_1}=(1,\ 1,\ 0)$

$直線 \ \ell_2\ の方向ベクトル \ \ \vec{d_2}\ は$

$\dfrac{x}{2}=y=z-1 \ \ より \quad \vec{d_2}=(2,\ 1,\ 1)$

$2\ つの直線 \ \ell_1\ と \ \ell_2 \ のなす角 \ \theta\ は$

$\cos \theta=\dfrac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}||\vec{d_2}|}=\dfrac{2+1}{\sqrt{2} \times \sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2} \ \ だから \quad \theta=\dfrac{\pi}{6}$


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