千葉大学(理系) 2026年　問題4(2)


$関数 \ f(x)=2\sin x+\cos x \ \ の \ \ 0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\ \ における最小値と最大値を求めよ。$


$f(x)=2\sin x+\cos x=\sqrt{5}\big(\sin x \times \dfrac{2}{\sqrt{5}}+ \cos x \times \dfrac{1}{\sqrt{5}}\big)$

$\cos \alpha=\dfrac{2}{\sqrt{5}},\quad \sin \alpha= \dfrac{1}{\sqrt{5}} \ \ とおくと$

$f(x)=\sqrt{5}(\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha )=\sqrt{5}\sin( x + \alpha )$

$ここで、\dfrac{1}{\sqrt{5}} < \dfrac{1}{2} \ \ より \quad \sin \alpha < \sin \dfrac{\pi}{6}$

$\therefore \ \ 0 < \alpha < \dfrac{\pi}{6} $

$0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2} \ \ だから \quad \alpha < x + \alpha < \dfrac{\pi}{2} + \alpha < \dfrac{2\pi}{3}$

　

$最小値は \quad x=0 \ \ のときで \quad f(0)=1$

$最大値は \quad x+\alpha=\dfrac{\pi}{2} \ \ すなわち \quad x=\dfrac{\pi}{2}-\alpha \ \ のときで $

$\qquad f(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\sqrt{5}$


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