千葉大学(理系) 2026年 問題4(1)
$n\ を正の整数とする。24^n\ の正の約数のうち、24\ の倍数でないものの個数を求めよ。$
$24=2^3 \times 3 \ \ だから \quad 24^n=2^{3n} \times 3^n$
$A=\{2^0,\ 2^1.\ 2^2, \ \cdots 2^{3n}\}$
$B=\{3^0,\ 3^1.\ 3^2.\ \cdots ,3^n\}$
$とおくと、約数は、2^a \times 3^b \ \ の形の数だから$
$約数の個数 \ N\ は \quad N=(3n+1)(n+1)\ \ (個)$
$このうち \ 24\ の倍数の個数 \ M\ は$
$C=\{2^3,\ 2^4.\ 2^5, \ \cdots 2^{3n}\}$
$B=\{3^1,\ 3^2.\ 3^3.\ \cdots ,3^n\}$
$とおくと、2^c \times 3^d \ \ の形の数だから$
$全部で \quad M=(3n-2) \times n \ \ (個)$
$よって、24^n \ の正の約数のうち、24\ の倍数でないものの個数は$
$N-M=(3n+1)(n+1)-n(3n-2)=6n+1\ \ (個)$
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