千葉大学(文系) 2026年　問題 3


$a\ は \ \ 0 \leqq a < 1\ \ を満たす実数とする。点(a,\ 0)\ を頂点とし、y\ 軸と平行な軸をもち、点(1,\ 1)\ を通る$
$放物線を \ C\ とする。以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 放物線 \ C\ の方程式を求めよ。$
$(2)\ \ 放物線 \ C\ と直線 \ y=x \ の交点を全て求めよ。$
$(3)\ \ 放物線 \ C\ と直線 \ y=x \ で囲まれえた図形の面積 \ S\ を求めよ。$
$(4)\ \ (3)で求めた面積 \ S\ が最大となるような \ a\ の値を求めよ。$


(1)

　

$点(a,\ 0)\ を頂点とし、y\ 軸と平行な軸をもつ放物線 \ C\ は$

$y=p(x-a)^2 \ \ とおける。$

$点(1,\ 1)\ を通るから \quad p(1-a)^2=1$

$p=\dfrac{1}{(1-a)^2}$

$よって、放物線 \ C\ の方程式は\quad y=\dfrac{(x-a)^2}{(1-a)^2}$


(2)


$放物線 \ C\ と直線 \ y=x \ の交点は$

$\dfrac{(x-a)^2}{(1-a)^2}=x$

$(x-a)^2-(1-a)^2x=0$

$x^2-(a^2+1)x+a^2=0$

$(x-1)(x-a^2)=0$

$x=1,\quad a^2$

$よって、交点は \quad (1,\ 1),\quad (a^2,\ a^2)$


(3)

　

\begin{eqnarray*} S &=&\int_{a^2}^1 \big(x- \dfrac{(x-a)^2}{(1-a)^2}\big)dx\\ \\ &=&\dfrac{1}{(1-a)^2}\int_{a^2}^1 \big((1-a)^2x- (x-a)^2\big)dx\\ \\ &=&-\dfrac{1}{(1-a)^2}\int_{a^2}^1 \big(x^2-(a^2+1)x+a^2\big)dx\\ \\ &=&-\dfrac{1}{(1-a)^2}\big[\dfrac{z^3}{3}-\dfrac{a^2+1}{2}x^2+a^2x\big]_{a^2}^1 \\ \\ &=&-\dfrac{1}{(1-a)^2}\big\{\big(\dfrac{1}{3}-\dfrac{a^2+1}{2}+a^2\big)-\big(\dfrac{a^6}{3}-\dfrac{a^2+1}{2} \times a^4+a^4\big)\big\}\\ \\ &=&-\dfrac{1}{(1-a)^2}\big(\dfrac{a^6}{6}-\dfrac{a^4}{2}+\dfrac{a^2}{2}-\dfrac{1}{6}\big)\\ \\ &=&-\dfrac{1}{6(1-a)^2}(a^6-3a^4+3a^2-1)\\ \\ &=&-\dfrac{1}{6(1-a)^2} \times (a^2-1)^3\\ \\ &=&\dfrac{1}{6}(1-a)(1+a)^3\\ \end{eqnarray*}

(4)


\begin{eqnarray*} S &=&\dfrac{1}{6}(1-a)(1+a)^3\\ \\ &=&\dfrac{1}{6}(1-a)(1+3a+3a^2+a^3)\\ \\ &=&-\dfrac{1}{6}(a^4+2a^3-2a-1)\\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} S' &=&-\dfrac{1}{6}(4a^3+6a^2-2)\\ \\ &=&-\dfrac{1}{3}(2a^3+3a^2-1)\\ \\ &=&-\dfrac{1}{3}(a+1)(2a^2+a-1)\\ \\ &=&-\dfrac{1}{3}(a+1)(a+1)(2a-1)\\ \\ &=&-\dfrac{1}{3}(a+1)^2(2a-1)\\ \end{eqnarray*} $S'=0 \ \ より \ \ 0 \leqq a < 1 \ \ だから \quad a=\dfrac{1}{2}$

　

$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} a& 0 & \cdots & \dfrac{1}{2} & \cdots & 1\\ \hline S'& & + & 0 & - & \\ \hline S & & \nearrow & 極大 & \searrow & \\ \end{array} \]
$S \ は \ \ a=\dfrac{1}{2}\ \ で極大かつ最大である$


$なお、右図は\ S(a)\ のグラフであり、$

$最大値は \quad S(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{6}\big(1-\dfrac{1}{2}\big)\big(1+\dfrac{1}{2}\big)^3=\dfrac{9}{32}$


ページの先頭へ↑




メインメニュー　に戻る