千葉大学(文系) 2026年　問題 2


$平面上の点P\ が以下の(1),(2),(3)で与えられる図形上を動く。それぞれの場合に、P\ を中心とする半径 \ r $
$ (0 < r < \dfrac{1}{2})\ \ の円(内部を含む)が通過してできる図形の面積を求めよ。$
$(1)\ \ 長さ \ 1\ の線分。$
$(2)\ \ 1\ 辺の長さが \ 1\ の正方形の周。$
$(3)\ \ 平面上の \ 3\ 点 \ A,\ B,\ C\ を順に線分で結んでできる折れ線。ただし、AB=BC=1, \ \ \angle ABC=2\theta $
$\quad (\dfrac{\pi}{4} < \theta < \dfrac{\pi}{2}) \ \ とする。$


(1)


$通過してできる図形は右図のとおりで、$

　

(i)$\ \ 1\ 辺 \ 1と \ 2r\ の長方形CDFE の面積は \quad 1 \times 2r=2r$

(ii)$\ \ 線分 \ AB\ の端点 \ A,\ B\ を中心とする半径 \ r\ の半円$

$\quad 2\ 個の面積は \quad \pi r^2$

$求める面積 \ S_1\ は \quad S_1= 2r + \pi r^2$


(2)


$通過してできる図形は右図のとおりで、$

　

(i)$\ \ 1\ 辺 \ 1\ と \ 2r\ の \ 4\ 個の長方形の面積は \quad 1 \times 2r \times 4=8r$

(ii)$\ \ $(i)$で重なった \ 1\ 辺 \ r\ の \ 4\ 個正方形の面積は \quad 4r^2$

(iii)$\ \ 端点 \ A,\ B,\ C,\ D\ を中心とする半径 \ r\ の4\ 分円 \ 4\ 個の面積は \quad \pi r^2$

$求める面積 \ S_2\ は \quad S_2= 8r-4r^2+ \pi r^2=8r-(4-\pi)r^2$


(3)


$通過してできる図形は右図のとおりで、$

　

(i)$\ \ 1\ 辺 \ 1\ と \ 2r\ の \ 2\ 個の長方形の面積は \quad 1 \times 2r \times 2=4r$

(ii)$\ \ $(i) $で重なったイカ型の図形を拡大しのが$

$\quad その次の図です。$

$\angle ABQ=\dfrac{\pi}{2},\quad \angle ABR=\theta \ \ だから \quad \angle PBR=\dfrac{\pi}{2}-\theta $

　

$直角三角形 \ BPR \ において \ \ BP=r\ \ だから$

$PR=BP\tan(\dfrac{\pi}{2}-\theta)=\dfrac{r}{\tan \theta}$

$四角形BPRQ=2 \times \triangle BPR=2 \times \dfrac{1}{2} \times BP \times PR=r \times \dfrac{r}{\tan \theta}=\dfrac{r^2}{\tan \theta}$

(iii)$\ \ 端点 \ A,\ C\ を中心とする半径 \ r\ の半円 \ 2\ 個の面積は \quad \pi r^2$

(iv)$\ \ 端点\ B\ を中心とする扇型について$

$\quad \angle PBQ=2\angle PBR=2 \times (\dfrac{\pi}{2}- \theta)=\pi - 2\theta$

$\quad 扇型の中心角は =\angle PBQ \ の対頂角= \pi - 2\theta$

$\quad 扇型の面積は \quad \pi r^2 \times \dfrac{\pi - 2\theta}{2\pi}=(\dfrac{\pi}{2}-\theta)r^2$

$求める面積 \ S_3\ は$

$ S_3=4r - \dfrac{r^2}{\tan \theta} + \pi r^2+ (\dfrac{\pi}{2}-\theta)r^2=4r+ \big(\dfrac{3}{2}\pi - \dfrac{1}{\tan \theta} - \theta \big)r^2$


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