千葉大学(文系) 2026年　問題1(3)


$\log_6(6!) \ と \ \sqrt[6]{6!} \ のどちらが大きいかを答え、それらの間にある整数を \ 1\ つ求めよ。$


$6!=6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2=720$

$6^3=216,\quad 6^4=1296 \ \ だから \quad 6^3 < 6! < 6^4$

$両辺底 \ 6\ の対数をとって$

$3 < \log_6(6!) < 4$

$一方$

$2=\sqrt[6]{2^6}=\sqrt[6]{64},\quad 3=\sqrt[6]{3^6}=\sqrt[6]{729} \ \ だから$

$2 < \sqrt[6]{6!} < 3$

$よって \quad 2 < \sqrt[6]{6!} < 3 < \log_6(6!) < 4 \ \ だから$

$ \sqrt[6]{6!} < \log_6(6!) \quad で、間にある整数は \quad 3 $


$(参考)$

$実際関数電卓で求めると \quad \sqrt[6]{6!}=2.994,\quad \log_6(6!)=3.672 \ \ です $


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