千葉大学(理系) 2025年 問題5
$さいころを投げて座標平面上の点P\ を動かす試行を繰り返す。最初の点P\ の位置は原点であるとする。$
$1\ 回の試行では \ 1\ 個のさいころを投げて、出た目に応じて以下の規則により点P\ を動かす。$
$\quad \bullet \ \ 1\ または \ 2\ が出れば、点P\ を \ x\ 軸方向に \ +1\ だけ動かす。$
$\quad \bullet \ \ 3\ または \ 4\ が出れば、点P\ を \ y\ 軸方向に \ +1\ だけ動かす。$
$\quad \bullet \ \ 5\ または \ 6\ が出れば、点P\ を \ y\ 軸方向に \ -1\ だけ動かす。$
$n\ 回目の試行直後の点P\ の座標を \ (x_n,\ y_n)\ とする。このとき、以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ x_6=y_6=0 \ \ となる確率を求めよ。$
$(2)\ \ y_6=0 \ \ となる確率を求めよ。$
$(3)\ \ y_1,\ \cdots , \ y_5 \ がすべて \ 0\ 以上で、かつ \ \ y_6=0\ \ となる確率を求めよ。$
(1)
$点P\ を \ x\ 軸方向に \ +1,\ \ y\ 軸方向に \ +1, \ \ y\ 軸方向に \ -1\ 動かす操作をそそれぞれ \ R,\ U,\ D \ \ と表すことにする。$
$1\ 回の試行で、R,\ U,\ D\ \ となる確率はそれぞれ \quad \dfrac{1}{3},\ \ \dfrac{1}{3},\ \ \dfrac{1}{3} \ \ である。$
$x_6=y_6=0 \ \ となるのは、6\ 回の試行で、U,\ D\ をそれぞれ \ 3\ 回ずつ動かすことである。$
$例えば \ \ (D,\ U,\ U,\ D,\ D,\ U)\ \ が根元事象の \ 1\ つである。$
$これは、U,\ D\ それぞれ \ 3\ 個ずつの同じ文字を含む順列と考えられるから、$
$その総数は \quad \dfrac{6!}{3!3!}=20\ \ 通り$
$したがって求める確率は \quad p=\dfrac{20}{3^6}=\dfrac{20}{729}$
(2)
$y_6=0 \ \ となるのは、6\ 回の試行で \ U\ と \ D\ が同じ数であり、残りは \ R\ であればよい。$
(i)$\ \ U,\ D\ がともに \ 0\ 個で、R\ が \ 6\ 個の場合 \quad (R,\ R,\ R,\ R,\ R,\ R)\ \ の \ 1\ 通り$
(ii)$\ \ U,\ D\ がそれぞれ \ 1\ 個で、R\ が \ 4\ 個の場合$
$\quad 例えば \quad (R,\ U,\ R,\ D,\ R,\ R)\ \ が根元事象の \ 1\ つである。$
$\quad 全部で \quad \dfrac{6!}{4!}=30\ \ 通り$
(iii)$\ \ U,\ D\ がそれぞれ \ 2\ 個で、R\ が \ 2\ 個の場合$
$\quad 例えば \quad (R,\ U,\ U,\ D,\ R,\ D)\ \ が根元事象の \ 1\ つである。$
$\quad 全部で \quad \dfrac{6!}{2!2!2!}=90\ \ 通り$
(iv)$\ \ U,\ Dがそれぞれ \ 3\ 個で、R\ が \ 0\ 個の場合$
$\quad 例えば \quad (D,\ U,\ U,\ D,\ U,\ D)\ \ が根元事象の \ 1\ つである。$
$\quad 全部で \quad \dfrac{6!}{3!3!}=20\ \ 通り$
(i),(ii),(iii),(iv) $は互いに排反だから合わせて \quad 1+30+90+20=141\ \ 通り$
$したがって求める確率は \quad p=\dfrac{141}{3^6}=\dfrac{47}{243}$
(3)
$y_1,\ \cdots , \ y_5 \ \ がすべて \ 0\ 以上で、かつ \ \ y_6=0\ \ となるのは$
$U\ の個数と \ D\ の個数が等しく、かつ \ U\ が\ D\ の前 \ \ (U < D \ \ と表す)\ \ になければならない。$
$U\ の個数で場合分けする。$
(i)$\ \ U=0 \ \ のとき、D=0,\ \ R=6$
$\quad (R,\ R,\ R,\ R,\ R,\ R)\ の \ 1\ \ 通り$
(ii)$\ \ U=1 \ \ のとき、D=1,\ \ R=4$
$\quad 例えば \quad (R,\ U,\ R,\ D,\ R,\ R)\ が根元事象の \ 1\ つである。$
$\quad U < D \ \ の根元事象と、D < U \ \ の根元事象の個数は同じだから、U\ と \ D\ を同一視して、$
$\quad 同じものを含む順列と考えられる。全部で \quad \dfrac{6!}{4!2!}=15\ \ 通り$
(iii)$\ \ U=2 \ \ のとき、D=2,\ \ R=2$
$\quad 2\ 個の \ U\ を \ U_1,\ U_2,\ 2\ 個の \ D\ を \ D_1,\ D_2 \ \ とすると条件は$
$\quad (ア)\ \ U_1 < D_1 < U_2 < D_2 \ \ の場合$
$\qquad 例えば \quad (R,\ U,\ D,\ U,\ D,\ R)\ \ が根元事象の \ 1\ つである。$
$\qquad \dfrac{6!}{4!2!}=15 \ \ 通り$
$\quad (イ)\ \ U_1 < U_2 < D_1 < D_2 \ \ の場合$
$\qquad 例えば \quad (R,\ U,\ U,\ D,\ D,\ R)\ \ が根元事象の \ 1\ つである。$
$\qquad \dfrac{6!}{4!2!}=15 \ \ 通り$
$\quad (ア)と (イ)は互いに排反だから 全部で \quad 2 \times 15=30 \ \ 通り$
(iv)$\ \ U=3 \ \ のとき、D=3,\ \ R=0$
$\quad 根元事象は$
$\quad (U,\ U,\ U,\ D,\ D,\ D),\quad (U,\ U,\ D,\ U,\ D,\ D),\quad (U,\ U,\ D,\ D,\ U,\ D)$
$\quad (U,\ D,\ U,\ U,\ D,\ D),\quad (U,\ D,\ U,\ D,\ U,\ D) \quad 5\ \ 通り$
(i),(ii),(iii),(iv) $は互いに排反だから合わせて \quad 1+15+30+5=51\ \ 通り$
$したがって求める確率は \quad p=\dfrac{51}{3^6}=\dfrac{17}{243}$
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