千葉大学(理系) 2025年 問題4
$数列 \ \{a_n\}\ を、a_1=10,\ \ a_{n+1}=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{9}{a_n^2}\ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)\ \ によって定める。$
$このとき、以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ すべての自然数 \ n\ に対して \ \ a_n > 3 \ \ が成り立つことを示せ。$
$(2)\ \ すべての自然数 \ n\ に対して \ \ a_{n+1} < a_n \ \ が成り立つことを示せ。$
$(3)\ \ 2\ 以上のすべての自然数 \ n\ に対して \ \ a_n -3 < 7 \cdot \big(\dfrac{2}{3}\big)^{n-1}\ \ が成り立つことを示せ。$
(1)
$数学的帰納法で示す。$
$(Ⅰ)\ \ n=1 \ \ のとき \ \ a_1=10 > 3 \quad だから成り立つ$
$(Ⅱ)\ \ n=k \ \ (k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)\ \ のとき成り立つとすると \quad a_k > 3$
$このとき$
\begin{eqnarray*} & &a_{k+1}-3\\ \\ &=&\dfrac{2}{3}a_k+\dfrac{9}{a_k^2} -3\\ \\ &=&\dfrac{1}{3a_k^2}(2a_k^3 +27-9a_k^2)\\ \\ &=&\dfrac{1}{3a_k^2}(2a_k^3 -9a_k^2 +27)\\ \\ &=&\dfrac{1}{3a_k^2}(a_k-3)(2a_k^2 -3a_k-9)\\ \\ &=&\dfrac{1}{3a_k^2}(a_k-3)^2(2a_k+3)\\ \\ &>&0 \end{eqnarray*}
$よって \quad a_{k+1} > 3 \quad となり、n=k+1 \ \ のときも成り立つ。$
$(Ⅰ),(Ⅱ)よりすべての自然数 \ n\ に対して \quad a_n > 3 \ \ が成り立つ。$
(2)
\begin{eqnarray*} & &a_n-a_{n+1}\\ \\ &=&a_n-\big(\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{9}{a_n^2}\big)\\ \\ &=&\dfrac{1}{3}a_n - \dfrac{9}{a_n^2}\\ \\ &=&\dfrac{a_n^3-27}{3a_n^2}\\ \\ &=&\dfrac{(a_n-3)(a_n^2+3a_n+9)}{3a_n^2}\\ \end{eqnarray*} $ここで$
$a_n^2+3a_n+9 =(a_n+\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{27}{4}>0 , \quad (1)より \quad a_n > 3 \quad だから$
$a_{n+1} < a_n$
(3)
$(2)より \quad a_n > 3 \quad だから \quad \dfrac{1}{a_n^2} < \dfrac{1}{9}$
\begin{eqnarray*} & &a_{n+1}-3\\ \\ &=&\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{9}{a_n^2}-3\\ \\ &<&\dfrac{2}{3}a_n+1 -3\\ \\ &=&\dfrac{2}{3}\big(a_n - 3)\\ \end{eqnarray*}
$よって$
\begin{eqnarray*} & &a_n-3\\ \\ &<&\dfrac{2}{3}(a_{n-1} - 3)\\ \\ &<&\big(\dfrac{2}{3}\big)^2(a_{n-2} - 3)\\ \\ & &\vdots \\ \\ &<&\big(\dfrac{2}{3}\big)^{n-1}(a_1 - 3)\\ \\ &<&\big(\dfrac{2}{3}\big)^{n-1}(10 - 3)\\ \\ &<&7\cdot \big(\dfrac{2}{3}\big)^{n-1}\\ \end{eqnarray*}
$(研究)$
$(Ⅰ)$
$n \longrightarrow \infty \ \ のとき \ \ 右辺 \longrightarrow 0 \ \ だから \ \ はさみうちの原理により$
$ a_n \longrightarrow 3$
$この数列 \ \{a_n\}\ の収束は \ Excel \ で求めた右の表からわかるように$
$かなり速い。$
$(Ⅱ)$
$(2) より $
$a_n-a_{n+1}=\dfrac{(a_n-3)(a_n^2+3a_n+9)}{3a_n^2} \quad において \quad \dfrac{a_n^2+3a_n+9}{3a_n^2} > 0 \quad だから$
$a_n < 3 \quad ならば \quad a_{n+1} > a_n \ \ (単調増加)$
$a_n > 3 \quad ならば \quad a_{n+1} < a_n \ \ (単調減少)$
$したがって、右表のように \ \ a_1=-5 \ \ とすると$
$a_3 < 3 \ \ だから \quad a_1 < a_2 < a_3 < a_4$
$a_4 > 3 \ \ だから \quad a_4 > a_5 > a_6 > \cdots $
$となって、初期値の正負,大小にかかわらず、やがては大きいほうから(右から) \ 3\ に収束します。$
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