千葉大学(文系) 2025年　問題2


$以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 1個のさいころを4回投げるとき、出る目の総和が21以上になる確率を求めよ。$
$(2)\ \ 1個のさいころを5回投げるとき、出る目の総和が10以上になる確率を求めよ。$


(1)


$4\ 回投げるとき出る目を\ \{a,\ b,\ c,\ d\}\ と記述し、出た目を順番に並べるときは \ (a,\ b,\ c,\ d)\ と記述する。$

$6\ の目が出た回数で場合分けする。$

(i)$\ \ 6\ が \ 1\ 回出る場合$

$\quad \{6,\ 5,\ 5,\ 5\}\ の場合で、このような目のが出かたは、(6,\ 5,\ 5,\ 5),\ \ (5,\ 6,\ 5,\ 5).\ \ (5,\ 5,\ 6,\ 5),\ \ (5.\ 5.\ 5.\ 6)\ \ の$

$\quad 4\ 通りあるが、同じものを含む順列だから \quad \dfrac{4!}{3!}=4 \ \ 通り\ \ と求めることにする。$

(ii)$\ \ 6\ が \ 2\ 回出る場合$

$\quad \{6,\ 6,\ 5,\ 4\}\ の場合 \quad \dfrac{4!}{2!}=12 \ \ 通り $

$\quad \{6,\ 6,\ 5,\ 5\}\ の場合 \quad \dfrac{4!}{2!2!}=6 \ \ 通り $

$\quad 合わせて　12+6=18\ \ 通り$

(iii)$\ \ 6\ が \ 3\ 回出る場合$

$\quad \{6,\ 6,\ 6,\ 3\} ,\ \ \{6,\ 6,\ 6,\ 4\} ,\ \ \{6,\ 6,\ 6,\ 5\}\ \ の場合があり、それぞれ \quad \dfrac{4!}{3!}=4 \ \ 通りだから$

$\quad 合わせて \quad 4 \times 3=12\ \ 通り$

(iv)$\ \ 6\ が \ 4\ 回出る場合$

$\quad \{6,\ 6,\ 6,\ 6\} \ \ の \ \ 1\ \ 通り$

$よって、根元事象の和は \quad 4+18+12+1=35 \ \ 通り$

$求める確率は \quad p=\dfrac{35}{6^4}=\dfrac{35}{1296}$


(2)


$事象 \ A:「出る目の総和が10以上」\ の余事象 \ \overline{A}\ は「出る目の総和が9以下」だからこの余事象について調べる。$

$1\ の目が出た回数で場合分けする。$

(i)$\ \ 1\ が \ 5\ 回出る場合$

$\quad \{1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1\}\ \ の場合で、1\ \ 通り$

(ii)$\ \ 1\ が \ 4\ 回出る場合$

$\quad \{1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 2\} ,\ \ \{1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 3\} ,\ \ \{1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 4\} ,\ \ \{1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 5\} \ \ の場合があり、それぞれ \quad \dfrac{5!}{4!}=5 \ \ 通りだから$

$\quad 合わせて \quad 　5 \times 4=20\ \ 通り$

(iii)$\ \ 1\ が \ 3\ 回出る場合$

$\quad \{1,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2\}\ と \ \{1,\ 1,\ 1,\ 3,\ 3\}\ \ の場合それぞれ \quad \dfrac{5!}{3!2!}=10 \ \ 通り $

$\quad \{1,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3\}\ と \ \{1,\ 1,\ 1,\ 2,\ 4\}\ \ の場合それぞれ \quad \dfrac{5!}{3!}=20 \ \ 通り $

$\quad 合わせて \quad 10 + 10 +20+20=60\ \ 通り$

(iv)$\ \ 1\ が \ 2\ 回出る場合$

$\quad \{1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2\}\ \ の場合 \quad \dfrac{5!}{2!3!}=10 \ \ 通り $

$\quad \{1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3\}\ \ の場合 \quad \dfrac{5!}{2!2!}=30 \ \ 通り $

$\quad 合わせて \quad 10 + 30=40\ \ 通り$

(v)$\ \ 1\ が \ 1\ 回出る場合$

$\quad \{1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 2\}\ \ の場合で、\dfrac{5!}{4!}=5 \ \ 通り $

$\overline{A}\ の根元事象の和は \quad 1+20+60+40+5=126 \ \ 通り$

$p(\overline{A})=\dfrac{126}{6^5}=\dfrac{7}{432}$

$よって、求める事象 \ A\ の確率は \quad p(A)=1-\dfrac{7}{432}=\dfrac{425}{432}$


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